Espacio vectorial ordenado

estructura algebraica con un orden parcial

En matemáticas, un espacio vectorial ordenado o espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio vectorial equipado con un orden parcial que es compatible con las operaciones del espacio vectorial.

Un punto en y el conjunto de todos los tales que (en rojo). El orden aquí es si y solo si y

Definición

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Dado un espacio vectorial   sobre los números reales   y un preorden   sobre el conjunto   el par   se llama espacio vectorial preordenado y se dice que el preorden   es compatible con la estructura del espacio vectorial de  . Por otro lado, se denomina a   un preorden vectorial en   si para todos los   y   con   se cumplen los dos axiomas siguientes:

  1.   implica que  
  2.   implica que  

Si   es un preorden compatible con la estructura del espacio vectorial de  , entonces   se denomina espacio vectorial ordenado y   se denomina orden parcial vectorial en   Los dos axiomas implican que las traslaciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden, y que la asignación   es un isomorfismo sobre una estructura de orden dual. Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados con respecto a la operación suma. Téngase en cuenta que   si y solo si  

Conos positivos y su equivalencia con los ordenamientos

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Un subconjunto   de un espacio vectorial   se llama cono si para todo   real   Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono   es convexo si y solo si   La intersección de cualquier familia de conos no vacía (respectivamente, conos convexos) es nuevamente un cono (respectivamente, cono convexo). Lo mismo ocurre con la unión de una familia de conos creciente (bajo la inclusión de conjuntos) (respectivamente, conos convexos). Se dice que un cono   en un espacio vectorial   es generador si  [1]

Dado un espacio vectorial preordenado   el subconjunto   de todos los elementos   en   que satisfacen   es un cono convexo puntiagudo con vértice en   (es decir, contiene  ) llamado cono positivo de   y denotado por   Los elementos del cono positivo se llaman positivos. Si   e   son elementos de un espacio vectorial preordenado   entonces   si y solo si   El cono positivo se genera si y solo si   es un conjunto dirigido bajo   Dado cualquier cono convexo puntiagudo   con vértice en   se puede definir un preorden   en   que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de   declarando para todo   que   si y solo si   El cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es   Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los conos convexos puntiagudos con vértice   y los preórdenes de vectores en  [1]​. Si   está reservado, entonces se puede formar una relación de equivalencia en   definiendo que   es equivalente a   si y solo si   e  ; si   es la clase de equivalencia que contiene el origen, entonces   es un subespacio vectorial de   y   es un espacio vectorial ordenado bajo la relación:   si y solo existen   y   tales que  [1]

Un subconjunto de   de un espacio vectorial   se denomina cono convexo si es un cono convexo de vértice   que satisface   Explícitamente,   es un cono propio si (1)   (2)   para todos los   y (3)  [2]​ La intersección de cualquier familia no vacía de conos propios es nuevamente un cono propio. Cada cono propio   en un espacio vectorial real induce un orden en el espacio vectorial definiendo   si y solo si   y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será   Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los conos convexos propios de   y los órdenes parciales del vector en  

Por ordenamiento total de vectores en   se entiende un orden total en   que es compatible con la estructura del espacio vectorial de   La familia de ordenamientos vectoriales totales en un espacio vectorial   está en correspondencia uno a uno con la familia de todos los conos propios que son máximos bajo la inclusión de conjuntos.[1]​ Un orden vectorial total no puede ser arquimediano si su dimensión, cuando se considera un espacio vectorial sobre los números reales, es mayor que 1.[1]

Si   y   son dos ordenamientos de un espacio vectorial con conos positivos   y   respectivamente, entonces se dice que   es más fino que   si  [2]

Ejemplos

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Los números reales con el orden habitual forman un espacio vectorial totalmente ordenado. Para todos los números enteros,   el espacio euclídeo,   considerado como un espacio vectorial sobre los reales con el orden lexicográfico, forma un espacio vectorial preordenado cuyo orden es arquimediano si y solo si  .[3]

Orden puntual

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Si   es cualquier conjunto y si   es un espacio vectorial (sobre los números reales) de funciones con valor real en   entonces el orden puntual en   viene dado por, para todo     si y solo si   para todos  [3]

Los espacios a los que normalmente se les asigna este orden incluyen:

  • El espacio   de aplicaciones de valor real acotado en  
  • El espacio   de sucesiones de valor real que convergen a  
  • El espacio   de funciones de valor real continuas en un espacio topológico  
  • Para cualquier entero no negativo   el espacio euclídeo   cuando se considera como el espacio   donde a   viene dado por una topología discreta.

El espacio   de todos las aplicaciones medibles casi en todas partes asigna valores reales acotados en   donde el preorden se define para todos los   por   si y solo si   casi en cualquier parte.[3]

Intervalos y el orden vinculado dual

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Un intervalo de orden en un espacio vectorial preordenado tiene la forma

 

De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que   y   implican que   pertenece a   y por tanto, estos intervalos de orden son convexos. Se dice que un subconjunto está ordenado si está contenido en algún intervalo de orden.[2]​ En un espacio vectorial real preordenado, si es para  , entonces el intervalo de la forma   es equilibrado.[2]​ Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento   tal que el conjunto   sea absorbente.[2]

El conjunto de todas las funciones lineales en un espacio vectorial preordenado   que asigna cada intervalo de orden a un conjunto acotado se denomina dual de orden acotado de   y se denota por  [2]​ Si un espacio es ordenado, entonces su dual de orden acotado es un subespacio vectorial de su espacio dual.

Un subconjunto   de un espacio vectorial ordenado   se llama de orden completo si para cada subconjunto   no vacío tal que   está orden acotado en   tanto   como   existen y son elementos de   Se dice que un vector ordenado el espacio   posee orden completo si   es un subconjunto de orden completo de  [4]

Ejemplos

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Si   es un espacio vectorial preordenado sobre los números reales con unidad de orden   entonces la aplicación   es un funcional sublineal.[3]

Propiedades

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Si   es un espacio vectorial preordenado, entonces para todos los  

  •   e   implican que  [3]
  •   si y solo si  [3]
  •   y   implican que  [3]
  •   si y solo si   si y solo si  [3]
  •   existe si y solo si   existe, en cuyo caso  [3]
  •   existe si y solo si   existe, en cuyo caso para todos los  [3]
    •   y
    •  
    •  
  •   es un espacio de Riesz si y solo si   existe para todos los  [3]

Espacios de aplicaciones lineales

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Se dice que un cono   es generador si   es igual a todo el espacio vectorial.[2]​ Si   y   son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con respectivos conos positivos   y   entonces   se genera en   si y solo si el conjunto   es un cono propio en   que es el espacio de todas las aplicaciones lineales desde   hasta   En este caso, el orden definido por   se denomina ordenamiento canónico de  [2]​. De manera más general, si   es cualquier subespacio vectorial de   tal que   sea un cono propio, el orden definido por   se denomina 'ordenamiento canónico de  [2]​.

Funcionales positivos y el orden dual

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Una función lineal   en un espacio vectorial preordenado se denomina positiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

  1.   implica  
  2. si   entonces  [3]

El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial con cono positivo   llamado cono dual y denotado por   es un cono igual al polar de   El preorden inducido por el cono dual en el espacio de funcionales lineales en   se llama preorden dual.[3]

El dual de orden de un espacio vectorial ordenado   es el conjunto, denotado por   definido por   Aunque   existen espacios vectoriales ordenados para los cuales la igualdad de conjuntos no se cumple.[2]

Tipos especiales de espacios vectoriales ordenados

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Sea   un espacio vectorial ordenado. Se dice que un espacio vectorial ordenado   está ordenado arquimedianamente y que el orden de   es de Arquímedes si siempre que   en   es tal que   es mayorizado (es decir, si existe algún   tal que   para todos los  ), y entonces  [2]​ Un espacio vectorial topológico (EVT) que es un espacio vectorial ordenado es necesariamente de Arquímedes si su cono positivo está cerrado.[2]

Se dice que un espacio vectorial preordenado   está regularmente ordenado y que su orden es regular si está ordenado arquimedianamente y   distingue puntos en  [2]​ Esta propiedad garantiza que haya suficientes formas lineales positivas para poder utilizar con éxito las herramientas de la dualidad para estudiar espacios vectoriales ordenados.[2]

Un espacio vectorial ordenado se llama espacio de Riesz si para todos los elementos   e   existen el supremo   y el ínfimo  .[2]

Subespacios, cocientes y productos

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Sea   un espacio vectorial preordenado con cono positivo  

Subespacios

Si   es un subespacio vectorial de  , entonces el orden canónico en   inducido por el cono positivo   de   es el orden parcial inducido por el cono convexo puntiagudo   donde este cono es propio si   es propio.[2]

Espacio de cociente

Sea   un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado   sea   la proyección canónica, y sea   Entonces,   es un cono en   que induce un preorden canónico en el espacio cociente   Si   es un cono adecuado en  , entonces   convierte a   en un espacio vectorial ordenado.[2]​ Si   es   saturado, entonces   define el orden canónico de  [1]​ Téngase en cuenta que   proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado en el que   no es un cono propio.

Si   también es un espacio vectorial topológico (EVT), y si por cada entorno del origen   en   existe una vecindad   del origen tal que  , entonces   es un cono normal para la topología cociente.[1]

Si   es un retículo vectorial topológico y   es un subretículo sólido cerrado de  , entonces   también es un retículo vectorial topológico.[1]

Producto

Si   es un conjunto cualquiera, entonces el espacio   de todas las funciones desde   hasta   está ordenado canónicamente por el cono propio  [2]​.

Supóngase que   es una familia de espacios vectoriales preordenados, y que el cono positivo de   es   Entonces,   es un cono convexo puntiagudo en   que determina un orden canónico en     es un cono propio si todos los   son conos propios.[2]

Suma directa algebraica

La suma directa algebraica   de   es un subespacio vectorial de   al que se le da el ordenamiento del subespacio canónico heredado de  [2]​ Si   son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado  , entonces   es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de   sobre   (con el orden canónico del producto) es un isomorfismo de órdenes.[2]

Ejemplos

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  • Los números reales con el orden habitual es un espacio vectorial ordenado.
  •   es un espacio vectorial ordenado con la relación   definida de cualquiera de las siguientes maneras (en orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos de pares decrecientes):
    • Orden lexicográfico:   si y solo si   o   Este es un orden total. El cono positivo viene dado por   o   es decir, en Coordenadas polares, el conjunto de puntos cuya coordenada angular satisface que   junto con el origen.
    •   si y solo si   y   (el orden del producto de dos copias de   con  ). Este es un orden parcial. El cono positivo viene dado por   e   es decir, en coordenadas polares   junto con el origen.
    •   si y solo si   o   (la clausura reflexiva del Producto directo de dos copias de   con "<"). Esto también es un orden parcial. El cono positivo está dado por   o   es decir, en coordenadas polares,   junto con el origen.
Solo el segundo orden está cerrado, como subconjunto de  ; véase órdenes parciales en espacios topológicos.
Para el tercer orden, los intervalos bidimensionales " " son conjuntos abiertos que generan la topología.
  •   es un espacio vectorial ordenado con la relación   definida de manera similar. Por ejemplo, para el segundo orden mencionado anteriormente:
    •   si y solo si   para  
  • Un espacio de Riesz es un espacio vectorial ordenado, donde el orden da lugar a un retículo.
  • El espacio de funciones continuas en  , donde   si y solo si   para todos los   en  

Véase también

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Referencias

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  1. a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, pp. 250-257.
  2. a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t Schaefer y Wolff, 1999, pp. 205–209.
  3. a b c d e f g h i j k l m Narici y Beckenstein, 2011, pp. 139-153.
  4. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 204-214.

Bibliografía

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