Cono convexo

En álgebra lineal, un cono, a veces llamado cono lineal para distinguirlo de otros tipos de conos, es un subconjunto de un espacio vectorial que es cerrado bajo la multiplicación escalar positiva; es decir, C es un cono si $x\in C$ implica que $sx\in C$ para cada escalar positivo s.

Un cono convexo (azul claro). En su interior, el cono convexo de color rojo claro consta de todos los puntos αx + βy con α, β > 0, para los puntos x e y representados. Las curvas en la parte superior derecha simbolizan que las regiones tienen una extensión infinita

Cuando los escalares son números reales, o pertenecen a un cuerpo ordenado, generalmente se llama cono a un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra mediante la multiplicación por un escalar positivo. En este contexto, un cono convexo es un cono que se cierra bajo suma o, de manera equivalente, un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra bajo combinación lineal con coeficientes positivos. De ello se deduce que los conos convexos son conjuntos convexos.

En este artículo solo se considera el caso de escalares en un campo ordenado.

Definición

Un subconjunto C de un espacio vectorial V sobre un cuerpo ordenado F es un cono (o a veces llamado cono lineal) si para cada x en C y para todo escalar positivo α en F, el producto αx está en C.​ Téngase en cuenta que algunos autores definen cono con el escalar α que abarca todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluyen el 0).​

Un cono C es un cono convexo si αx + βy pertenece a C, para cualquier escalar positivo α, β y cualquier x , y en C.​​ Un cono C es convexo si y solo si C + C ⊆ C.

Este concepto es significativo para cualquier espacio vectorial que permita el concepto de escalar "positivo", como espacios sobre los números racionales, los algebraicos o (más comúnmente), los números reales. Debe tenerse en cuenta también que los escalares de la definición son positivos, lo que significa que el origen no tiene por qué pertenecer a C. Algunos autores utilizan una definición que garantiza que el origen pertenece a C.​ Debido a los parámetros de escala α y β, los conos tienen una extensión infinita y no están acotados.

Si C es un cono convexo, entonces para cualquier escalar positivo α y cualquier x en C, el vector $\alpha x={\tfrac {\alpha }{2}}x+{\tfrac {\alpha }{2}}x\in C.$ Se deduce que un cono convexo C es un caso especial de un cono lineal.

De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también se puede definir como un cono lineal cerrado bajo combinaciones convexas, o justo bajo la adición. De manera más sucinta, un conjunto C es un cono convexo si y solo si αC= C y C + C= C, para cualquier escalar positivo α.

Ejemplos

Cono convexo que no es una combinación cónica de un número finito de generadores

Cono convexo generado por la combinación cónica de los tres vectores negros

Un cono (la unión de dos rayos) que no es un cono convexo

• Para un espacio vectorial V, el conjunto vacío, el espacio V y cualquier subespacio vectorial de V son conos convexos.
• La combinación cónica de un conjunto finito o infinito de vectores en $\mathbb {R} ^{n}$ es un cono convexo.
• Los conos tangentes de un conjunto convexo son conos convexos.
• El conjunto

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{2}\geq 0,x_{1}=0\right\}\cup \left\{x\in \mathbb {R} ^{2}\mid x_{1}\geq 0,x_{2}=0\right\}$

es un cono pero no un cono convexo.

• El cono norma

$\left\{(x,r)\in \mathbb {R} ^{d+1}\mid \|x\|\leq r\right\}$

es un cono convexo.

• La intersección de dos conos convexos en el mismo espacio vectorial es nuevamente un cono convexo, pero su unión puede no serlo.
• La clase de conos convexos también está cerrada bajo aplicaciones lineales arbitrarias. En particular, si C es un cono convexo, también lo es su opuesto $-C$ y $C\cap -C$ es el subespacio lineal más grande contenido en C.
• El conjunto de matrices semidefinidas positivas.
• El conjunto de funciones continuas no negativas es un cono convexo.

Ejemplos especiales

Conos convexos afines

Un cono convexo afín es el conjunto resultante de aplicar una transformación afín a un cono convexo.​ Un ejemplo común es trasladar un cono convexo por un punto p: p + C. Técnicamente, tales transformaciones pueden producir no conos. Por ejemplo, a menos que p = 0, p + C no sea un cono lineal. Sin embargo, todavía se le llama cono convexo afín.

Semiespacios

Un hiperplano (lineal) es un conjunto de la forma $\{x\in V\mid f(x)=c\}$ donde f es un funcional lineal en el espacio vectorial V. Un semiespacio cerrado es un conjunto de la forma $\{x\in V\mid f(x)\leq c\}$ o $\{x\in V\mid f(x)\geq c\},$ de manera que un semiespacio abierto utiliza una desigualdad estricta.​​

Los semiespacios (abiertos o cerrados) son conos convexos afines. Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo C que no sea todo el espacio V debe estar contenido en algún semiespacio cerrado H de V. Este es un caso especial del lema de Farkas.

Conos poliédricos y finitamente generados

Los conos poliédricos son tipos especiales de conos que se pueden definir de varias maneras:​

• Un cono C es poliédrico si es la combinación cónica de un número finito de vectores (esta propiedad también se llama generación de manera finita).​​ Es decir, hay un conjunto de vectores $\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}$ para que $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0},v_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\}$.
• Un cono es poliédrico si es la intersección de un número finito de semiespacios que tienen el 0 en su límite (esto lo demostró Weyl en 1935).
• Un cono C es poliédrico si existe alguna matriz $A$ tal que $C=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid Ax\geq 0\}$.
• Un cono es poliédrico si es el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales homogéneas. Algebraicamente, cada desigualdad está definida por una fila de la matriz A. Geométricamente, cada desigualdad define un semiespacio que pasa por el origen.

Todo cono finitamente generado es un cono poliédrico, y todo cono poliédrico es un cono finitamente generado.​ Cada cono poliédrico tiene una representación única como una envolvente cónica de sus generadores extremos, y una representación única de intersecciones de semiespacios, dada cada forma lineal asociada con los semiespacios, que también definen un hiperplano de soporte de cada faceta.​

Los conos poliédricos juegan un papel central en la teoría de representación de poliedros. Por ejemplo, el teorema de descomposición de los poliedros establece que cada poliedro se puede escribir como una suma de Minkowski de un politopo convexo y de un cono poliédrico.​​ Los conos poliédricos también juegan un papel importante en la demostración del teorema de bases finitas para politopos, que demuestra que cada politopo es un poliedro y cada poliedro acotado es un politopo.​​​

Las dos representaciones de un cono poliédrico, mediante desigualdades y mediante vectores, pueden tener tamaños muy diferentes. Por ejemplo, considérese el cono de todas las matrices n-por-n no negativas con sumas iguales de filas y columnas. La representación de desigualdad requiere n² desigualdades y ecuaciones 2(n − 1), pero la representación vectorial requiere n! vectores (véase teorema de Birkhoff-von Neumann). También puede ocurrir lo contrario: el número de vectores puede ser polinómico, mientras que el número de desigualdades es exponencial.​

Las dos representaciones unidas proporcionan una forma eficaz de decidir si un vector dado está en el cono: para demostrar que está en el cono, basta con presentarlo como una combinación cónica de los vectores que lo definen; y para demostrar que no está en el cono, basta con presentar una única desigualdad definitoria que no cumpla. Este hecho se conoce como el lema de Farkas.

Un punto sutil en la representación por vectores es que el número de vectores puede ser exponencial en la dimensión, por lo que la prueba de que un vector está en el cono podría ser exponencialmente larga. Afortunadamente, el teorema de Carathéodory garantiza que cada vector en el cono puede representarse como máximo mediante d vectores que lo definen, donde d es la dimensión del espacio.

Conos romos, puntiagudos, planos, salientes y propios

Según la definición anterior, si C es un cono convexo, entonces C ∪ {0} también es un cono convexo. Se dice que un cono convexo es puntiagudo si 0 está en C y romo si 0 no está en C.​​ Los conos romos se pueden excluir de la definición de cono convexo sustituyendo positivo por no negativo en la condición de α, β.

Un cono se llama plano si contiene algún vector distinto de cero x y su opuesto −x, lo que significa que C contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y saliente en caso contrario.​​ Un cono convexo romo es necesariamente saliente, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un cono convexo C es saliente si y solo si C ∩ −C ⊆ {0}. Se dice que un cono C es generador si $C-C=\{x-y\mid x\in C,y\in C\}$ es igual a todo el espacio vectorial. ​

Algunos autores exigen que los conos salientes sean puntiagudos.​ El término puntiagudo también se utiliza a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene una línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial entorno V, o lo que se llama un cono saliente).​​​ El término cono propio (convexo) se define de diversas formas, según el contexto y el autor. A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensión completa.​​​ Debido a estas diferentes definiciones, se debe consultar el contexto o la fuente para la definición de estos términos.

Conos racionales

Un tipo de cono de particular interés para los matemáticos puros es el conjunto parcialmente ordenado de los conos racionales. "Los conos racionales son objetos importantes en geometría algebraica tórica, álgebra conmutativa combinatoria, combinatoria geométrica y programación entera".​ Este objeto surge cuando se estudian los conos en $\mathbb {R} ^{d}$ junto con el retículo $\mathbb {Z} ^{d}$. Un cono se llama racional (aquí se asume que es puntiagudo, como se definió anteriormente) siempre que todos sus generadores tengan coordenadas enteras, es decir, si $C$ es un cono racional, entonces $C=\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{k}v_{k}\mid a_{i}\in \mathbb {R} _{+},v_{i}\in \mathbb {Z} ^{d}\}$.

Cono dual

Sea C ⊂ V un conjunto, no necesariamente un conjunto convexo, en un espacio vectorial real V equipado con un producto interior. El cono dual (continuo o topológico) de C es el conjunto

$C^{*}=\{v\in V\mid \forall w\in C,\langle w,v\rangle \geq 0\},$

que es siempre un cono convexo. Aquí, $\langle w,v\rangle$ es el emparejamiento de dualidad entre C y V, es decir, $\langle w,v\rangle =v(w)$.

De manera más general, el cono dual (algebraico) de C ⊂ V en un espacio lineal V es un subconjunto del espacio dual V* definido por:

$C^{*}:=\left\{v\in V^{*}\mid \forall w\in C,v(w)\geq 0\right\}.$

En otras palabras, si V* es el espacio dual de V, C* es el conjunto de funcionales lineales que son no negativos en el cono primario C. Si se toma V* como espacio dual, entonces es el conjunto de funcionales lineales continuos no negativos en C.​ Esta noción no requiere la especificación de un producto interno en V.

En dimensiones finitas, las dos nociones de cono dual son esencialmente la misma, porque cada funcional lineal de dimensión finita es continua,​ y cada funcional lineal continuo en un espacio producto interno induce un isomorfismo lineal (mapa lineal no singular) de V* a V, y este isomorfismo llevará el cono dual dado por la segunda definición, en V*, al dado por la primera definición (véase el teorema de representación de Riesz).​

Si C es igual a su cono dual, entonces C es denominado auto-dual. Se puede decir que un cono es autodual sin referencia a ningún producto interno dado, si existe un producto interno con respecto al cual es igual a su dual según la primera definición.

Construcciones

• Dado un subconjunto cerrado y convexo K de un espacio de Hilbert V, el cono normal exterior al conjunto K en el punto x en K es dado por

  $N_{K}(x)=\left\{p\in V\colon \forall x^{*}\in K,\left\langle p,x^{*}-x\right\rangle \leq 0\right\}.$

• Dado un subconjunto cerrado y convexo K de V, el cono tangente (o cono contingente) al conjunto K en el punto x está dada por

  $T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\frac {K-x}{h}}}}.$

• Dado un subconjunto cerrado y convexo K del espacio de Hilbert V, el cono tangente al conjunto K en el punto x en K se puede definir como el cono polar al cono normal hacia afuera $N_{K}(x)$:

  $T_{K}(x)=N_{K}^{o}(x)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{y\in V\mid \forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}$

Tanto el cono normal como el tangente tienen la propiedad de ser cerrados y convexos.

Son conceptos importantes en los campos de la optimización convexa, las desigualdades variacionales y los sistemas dinámicos proyectados.

Propiedades

Si C es un cono convexo no vacío en X, entonces el dominio lineal de C es igual a C - C y el subespacio vectorial más grande de X contenida en C es igual a C ∩ (−C).​

Orden parcial definido por un cono convexo

Un cono convexo puntiagudo y saliente C induce un conjunto parcialmente ordenado "≥" en V, definido de manera que $x\geq y$ si y solo si $x-y\in C$ (si el cono es plano, la misma definición da simplemente un conjunto preordenado), y los múltiplos escalares positivos de desigualdades válidas con respecto a este orden siguen siendo desigualdades válidas. Un espacio vectorial con tal orden se llama espacio vectorial ordenado. Los ejemplos incluyen el orden del producto en vectores de valores reales, $\mathbb {R} ^{n},$ y el orden de Loewner en matrices semidefinidas positivas. Este orden se encuentra comúnmente en programación semidefinida.

Véase también

• Cono (desambiguación)
  • Cono (geometría)
  • Cono (topología)
• Lema de Farkas
• teorema bipolar
• Combinación lineal
• Espacio vectorial ordenado

Bibliografía

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• Datos: Q2256541