Retículo vectorial topológico

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y en teoría del orden, un retículo vectorial topológico es un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff $X$ que tiene un orden parcial $\,\leq \,$ que lo convierte en un espacio de Riesz que posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.​ Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en teoría espectral.

Definición

Si $X$ es un retículo vectorial, entonces se denominan operaciones de retículos vectoriales a las siguientes aplicaciones:

1. Las tres aplicaciones de $X$ sobre sí mismo definidas por $x\mapsto |x|$, $x\mapsto x^{+}$, $x\mapsto x^{-}$ y
2. Las dos aplicaciones de $X\times X$ sobre $X$ definidas por $(x,y)\mapsto \sup _{}\{x,y\}$ y $(x,y)\mapsto \inf _{}\{x,y\}$.

Si $X$ es un EVT sobre los números reales y un retículo vectorial, entonces $X$ es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal y (2) las operaciones del retículo vectorial son continuas.​

Si $X$ es un retículo vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que también es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal, entonces las operaciones del retículo son continuas.​

Si $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) y un espacio vectorial ordenado, entonces $X$ se denomina localmente sólido si $X$ posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.​ Un retículo vectorial topológico es un EVT de Hausdorff $X$ que tiene un orden parcial $\,\leq \,$ que lo convierte en un espacio de Riesz que es localmente sólido.​

Propiedades

Cada retículo vectorial topológico tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado.​ Sea ${\mathcal {B}}$ el conjunto de todos los subconjuntos acotados de un retículo vectorial topológico con cono positivo $C$ y, para cualquier subconjunto $S$, sea $[S]_{C}:=(S+C)\cap (S-C)$ la envolvente $C$ saturado de $S$. Entonces, el cono positivo $C$ del retículo vectorial topológico es un cono ${\mathcal {B}}$ estricto,​ donde $C$ es un cono ${\mathcal {B}}$ estricto significa que $\left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$ es una subfamilia fundamental de ${\mathcal {B}}$, es decir, cada $B\in {\mathcal {B}}$ está contenido como un subconjunto de algún elemento de $\left\{[B]_{C}:B\in {\mathcal {B}}\right\}$).​

Si un retículo vectorial topológico $X$ posee orden completo, entonces cada banda está cerrada en $X$.​

Ejemplos

Los espacios Lᵖ ($1\leq p\leq \infty$) son retículos de Banach según su ordenamiento canónico. Estos espacios son órdenes completos para $p<\infty$.

Véase también

• Retículo de Banach
• Retículo complementado
• Retículo de Fréchet
• Retículo vectorial localmente convexo
• Retículo normado
• Espacio vectorial ordenado
• Pseudocomplemento
• Espacio de Riesz

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

• Datos: Q96410326