Elemento supremo e ínfimo

En matemáticas, dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $\left(P,<\right)$, el supremo de $S$, si existe, es el mínimo elemento de $P$ que es mayor o igual a cada elemento de $S$. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de $S$. El supremo de un conjunto $S$ comúnmente se denota como $\sup S$.

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A (diamante rojo).

De forma análoga, se define el ínfimo $S$, si existe, como la mayor de las cotas inferiores de $S$, y se suele denotar por $\inf S$.

Definiciones

Sea $T$ un subconjunto no vacío de $\mathbb {R}$.

1. Si $T$ está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de $T$ si es menor que cualquier cota superior de $T$. En tal caso, a esa cota superior se le denota $\sup T$.
2. Si $T$ está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de $T$ si es mayor que cualquier cota inferior de $T$. En tal caso, a esa cota inferior se le denota $\inf T.$​

Propiedades

• En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.

• $s$ es supremo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb {R}$ de números reales si es cota superior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon >0$ existe $s_{\varepsilon }$ en $T$ tal que $s-\varepsilon <s_{\varepsilon }$.

• $r$ es ínfimo del subconjunto $T$ no vacío del conjunto $\mathbb {R}$ de números reales si es cota inferior de $T$ y si, y solo si para toda $\varepsilon >0$ existe $r_{\varepsilon }$ en $T$ tal que $r+\varepsilon >r_{\varepsilon }$.

• Sean $L$ un subconjunto acotado de números reales y $K$ un subconjunto no vacío de $L$. Se cumple que $\inf L\leq \inf K\leq \sup K\leq \sup L$.​

• Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
• $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, si es que dichos supremos existen
• $\inf(A\cup B)=\min\{\inf(A),\inf(B)\}$, si es que dichos ínfimos existen
• Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.

Ejemplos

• $\sup\{1,2,3\}=3\,$
• $\inf\{1,2,3\}=1\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
• $\inf\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\inf\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=0\,$

• $\sup\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}\leq 2\}={\sqrt {2}}\,$
• $\inf\{x\in \mathbb {Q^{+}} |x^{2}<2\}=0\,$
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=1\,$
• $\inf \left\{{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \right\}=0\,$

Véase también

• Acotado

• Elemento maximal y minimal
• Elemento máximo y mínimo

• Elemento mayorante y minorante
• Elemento mayor y menor

• Elemento supremo e ínfimo

Literatura de consulta

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q17502105
• Multimedia: Infimum and supremum / Q17502105