Espacio vectorial ordenado arquimedianamente

En matemáticas, específicamente en teoría del orden, una relación binaria $\,\leq \,$ sobre un espacio vectorial $X$ sobre los números reales o los números complejos se llama arquimediana (o también de Arquímedes) si para todos los $x\in X,$ siempre que exista algún $y\in X$ tal que $nx\leq y$ para todos los números enteros positivos $n,$ entonces necesariamente $x\leq 0.$ Un espacio vectorial (pre)ordenado de Arquímedes es un espacio vectorial (pre)ordenado cuyo orden es de Arquímedes.​ Un espacio vectorial preordenado $X$ se llama casi de Arquímedes si para todos los $x\in X,$ siempre que exista un $y\in X$ tal que $-n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y$ para todos los números enteros positivos $n,$ entonces$x=0.$​

Caracterizaciones

Un espacio vectorial preordenado $(X,\leq )$ con una unidad de orden $u$ está preordenado arquimedianamente si y solo si $nx\leq u$ para todos los números enteros no negativos $n$ implica que $x\leq 0.$​

Propiedades

Sea $X$ un espacio vectorial ordenado de dimensión finita sobre los números reales. Entonces, el orden de $X$ es de Arquímedes si y solo si el cono positivo de $X$ está cerrado para la topología única bajo la cual $X$ es un espacio vectorial topológico de Hausdorff.​

Norma de unidad de orden

Supóngase que $(X,\leq )$ es un espacio vectorial ordenado sobre los números reales con una unidad de orden $u$ cuyo orden es de Arquímedes, y sea $U=[-u,u].$ Entonces, el funcional de Minkowski $p_{U}$ de $U$ (definido por $p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}$) es una norma llamada norma de unidad de orden, que satisface que $p_{U}(u)=1$ y que la bola unitaria cerrada determinada por $p_{U}$ es igual a $[-u,u]$ (es decir, $[-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.$​

Ejemplo

• El espacio $l_{\infty }(S,\mathbb {R} )$ de aplicaciones acotadas de valores reales en un conjunto $S$ con orden puntual está ordenado arquimedianamente con una unidad de orden $u:=1$ (es decir, la función que es idénticamente $1$ en $S$). La norma de unidad de orden en $l_{\infty }(S,\mathbb {R} )$ es idéntica a la norma del supremo habitual: $\|f\|:=\sup _{}|f(S)|.$​

Ejemplos

• Cada espacio de Riesz con orden completo está ordenado por arquimedianamente.​
• Una red vectorial de dimensión finita de dimensión $n$ tiene el orden de Arquímedes si y solo si es isomorfa a $\mathbb {R} ^{n}$ con su orden canónico.​
• Sin embargo, un orden vectorial totalmente ordenado de dimensión $\,>1$ no puede ser un orden de Arquímedes.​
• También existen espacios vectoriales ordenados que son casi de Arquímedes pero no de Arquímedes.
• El Espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{2}$ sobre los números reales con el orden lexicográfico no está ordenado arquimedianamente, dado que $r(0,1)\leq (1,1)$ para cada $r>0$, pero $(0,1)\neq (0,0).$​

Véase también

• Axioma de Arquímedes
• Espacio vectorial ordenado

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 

• Datos: Q96372310