Espacio vectorial topológico metrizable

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En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico (EVT) metrizable (o en su caso, pseudometrizable) es un EVT cuya topología es inducida por una métrica (o en su caso alternativo, por una pseudométrica). Un espacio LM es un límite directo de una secuencia de EVT metrizables localmente convexos.

Pseudométricas y métricas

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Una pseudométrica en un conjunto   es una aplicación   que satisface las siguientes propiedades:

  1.  ;
  2. Simetría:  ;
  3. Subaditividad:  .

Una pseudométrica se denomina métrica si satisface:

  1. Identidad de los indiscernibles: para todo  , si   entonces  .

Ultrapseudométrico

Una aplicación   pseudométrica en   se denomina ultrapseudométrica o pseudométrica fuerte si satisface:

  1. Fuerte/Desigualdad triangular ultramétrica:  .

Espacio pseudométrico

Un espacio pseudométrico es un par   que consta de un conjunto   y de una pseudométrica   en   tal que la topología de   es idéntica a la topología en   inducida por  . Se denomina a un espacio pseudométrico   un espacio métrico (respectivamente, espacio ultrapseudométrico) cuando   es una métrica (respectivamente, una ultrapseudométrica).

Topología inducida por una pseudométrica

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Si   es una pseudométrica en un conjunto  , entonces una colección de bolas abiertas:

 , ya que   abarca   y   abarca los números reales positivos, y forma una base para una topología en   que se llama  -topología o topología pseudométrica en   inducida por  .
Convención: Si   es un espacio pseudométrico y   se trata como un espacio topológico, a menos que se indique lo contrario, se debe suponer que   está dotado de la topología inducida por  .

Espacio pseudometrizable

Un espacio topológico   se denomina pseudometrizable (respespectivamente, metrizable, ultrapseudometrizable) si existe un   pseudométrico (respespectivamente, métrico, ultrapseudométrico) en   tal que   es igual a la topología inducida por  .[1]

Pseudométricas y valores sobre grupos topológicos

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Un grupo topológico aditivo es un grupo aditivo dotado de una topología, denominada topología de grupo, bajo la cual la suma y la negación se convierten en operadores continuos.

Una topología   en un espacio vectorial real o complejo   se denomina topología vectorial o topología EVT si hace que las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar sean continuas (es decir, si convierte   en un espacio vectorial topológico).

Cada espacio vectorial topológico (EVT)   es un grupo topológico conmutativo aditivo, pero no todas las topologías de grupo en   son topologías vectoriales. Esto se debe a que, a pesar de hacer que la suma y la negación sean continuas, una topología de grupo en un espacio vectorial   puede no lograr que la multiplicación escalar sea continua. Por ejemplo, una topología discreta en cualquier espacio vectorial no trivial hace que la suma y la negación sean continuas, pero no hace que la multiplicación escalar sea continua.

Pseudométricas invariantes con respecto a la traslación

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Si   es un grupo aditivo, entonces se dice que una pseudométrica   en   es invariante a la traslación o simplemente invariante si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

  1. Simetría traslacional:  ;
  2.  .

Valor/G-seminorma

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Si   es un grupo topológico, un valor o G-seminorma en   (la G significa grupo) es una aplicación   sobre valores reales con las siguientes propiedades:[2]

  1. No negativa:  
  2. Subaditiva:  
  3.  .
  4. Simétrica:  

donde se denomina G-seminorma a una g-norma si satisface la condición adicional:

  1. Total/Positiva definida: Si   entonces  

Propiedades de los valores

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Si   es un valor en un espacio vectorial  , entonces:

  •  .[3]
  •   y   para todo   y enteros positivos  .[4]
  • El conjunto   es un subgrupo aditivo de  .[3]

Equivalencia en grupos topológicos

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Teorema[2]

Supóngase que   es un grupo conmutativo aditivo. Si   es una pseudométrica invariante respecto a la traslación en  , entonces la aplicación   es un valor en   llamado el valor asociado con   y, además,   genera una topología de grupo en   (es decir, la topología   en   hace de   un grupo topológico). Por el contrario, si   es un valor en  , entonces la aplicación   es una pseudométrica invariante a la traslación en   y el valor asociado con   es solo  .

Grupos topológicos pseudometrizables

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Teorema[2]

Si   es un grupo topológico aditivo conmutativo, entonces lo siguiente es equivalente:

  1.   es inducido por una pseudométrica; (es decir,   es pseudometrizable);
  2.   es inducido por una pseudométrica invariante a la traslación;
  3. El elemento de identidad en   tiene una base de entorno contable.

Si   es de Hausdorff, entonces la palabra "pseudométrica" en la declaración anterior puede reemplazarse por la palabra "métrica". Un grupo topológico conmutativo es metrizable si y solo si es de Hausdorff y pseudometrizable.

Pseudométrica invariante que no induce una topología vectorial

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Sea   un espacio vectorial real o complejo no trivial (es decir,  ) y sea   la métrica trivial invariante de traslación en   definida por   y   tal que  . La topología   que   induce en   es discreta, lo que convierte a   en un grupo topológico conmutativo respecto a la suma, pero no forma una topología vectorial en   porque   es no conexo, aunque cada topología vectorial sea conexa. Esta circunstancia es debida a que la multiplicación escalar no es continua en  .

Este ejemplo muestra que una (pseudo)métrica invariante a la traslación no es suficiente para garantizar una topología vectorial, lo que lleva a definir paranormas y seminormas F.

Secuencias aditivas

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Una colección   de subconjuntos de un espacio vectorial se llama aditiva[5]​ si para cada  , existe algún   tal que  .

Continuidad de la adición en 0

Si   es un group (como lo son todos los espacios vectoriales),   es una topología en  , y   está dotado de topología producto, entonces la aplicación de suma   (es decir, la aplicación  ) es continua en el origen de   si y solo si el conjunto de entorno del origen en   es aditivo. Esta afirmación sigue siendo cierta si la palabra "entorno" se reemplaza por "entorno abierto".[5]

En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial. Las secuencias aditivas de conjuntos tienen la propiedad particularmente conveniente de que definen funciones subaditivas continuas y no negativas de valor real. En consecuencia, estas funciones se pueden usar para probar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos y también mostrar que un EVT de Hausdorff con una base contable de entorno es metrizable. El siguiente teorema es cierto de manera más general para los grupos topológicos aditivos conmutativos.

Teorema

Sea   una colección de subconjuntos de un espacio vectorial tal que   y   para todo  . Para todos los  , sea

 .

Defínase   por   si es   y en caso contrario, se considera que

 .

Entonces,   es subaditivo (lo que significa que  ) y   en  , por lo que en particular  . Si todos los   son conjuntos simétricos, entonces  , y si todos los   son equilibrados, entonces   para todos los escalares   de modo que   y todos los  . Si   es un espacio vectorial topológico y si todos los   son entornos del origen, entonces   es continuo, donde si además   es de Hausdorff y   forma una base de entornos equilibradas del origen en  , entonces   es una métrica que define la topología vectorial en  .

Demostración
Supóngase que   siempre denota una secuencia finita de números enteros no negativos y utilice la notación:
 .

Para cualquier número entero   y  ,

 .

De esto se deduce que si   consta de números enteros positivos distintos, entonces  .

Ahora se demostrará por inducción en   que si   consta de números enteros no negativos tales como   para algún número entero  , entonces  . Esto es claramente cierto para   y  , así que supóngase que  , implica que todos los   son positivos. Si todos los   son distintos, entonces se realiza este paso; de lo contrario, se deben seleccionar índices   distintos, de modo que   y construir   a partir de   reemplazando cada   con   y eliminando el elemento   de   (todos los demás elementos de   se transfieren a   sin cambios). Se observa que   y   (porque  ), por lo que apelando a la hipótesis inductiva se concluye que  , lo que se buscaba.

Está claro que   y  , así que para probar que   es subaditivo, basta probar que   cuando   son tales que  , lo que implica que  .

Si todos los   son simétricos, entonces   si y solo si   de lo cual se deduce que   y  . Si todos los   están equilibrados, entonces la desigualdad   para todos los escalares unitarios   tales que   se demuestra de manera similar. Debido a que   es una función subaditiva no negativa que satisface  , como se describe en el artículo sobre funcionales sublineales,   es uniformemente continua en   si y solo si   es continua en el origen. Si todos los   son entornos del origen, entonces, para cualquier  , real, elíjase un número entero   tal que  , de modo que   implique que  . Si el conjunto de todos los   forma una base equilibrada de entornos del origen, entonces se puede demostrar que para cualquier  , existe algún   tal que  , lo que implica que  .  

Paranormas

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Si   es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una paranorma en   es una G-seminorma (definida anteriormente)   en   que satisface cualquiera de las siguientes condiciones adicionales, cada una de las cuales comienza con "para todas las secuencias   en   y todas las secuencias convergentes de escalares  ":[6]

  1. Continuidad de la multiplicación: si   es un escalar y   son tales que   y  , entonces  .
  2. Ambas condiciones:
    • si   y si   es tal que  , entonces  ;
    • si   entonces   para cada escalar  .
  3. Ambas condiciones:
    • si   y   para algún escalar  , entonces  ;
    • si   entonces  .
  4. Continuidad separada:[7]
    • si   para algún   escalar, entonces   para cada  ;
    • si   es un escalar,  , y  , entonces  .

Una paranorma se llama total si además satisface que:

  • Total/Positivo definido:   implica  .

Propiedades de las paranormas

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Si   es una paranorma en un espacio vectorial  , entonces la aplicación   definida por   es una pseudométrica invariante de traslación en  , que define una topología vectorial en  .[8]

Si   es una paranorma en un espacio vectorial  , entonces:

  • el conjunto   es un subespacio vectorial de  .[8]
  •   con  .[8]
  • Si una paranorma   satisface que   y los escalares  , entonces   es absolutamente homogénea (es decir, se mantiene la igualdad)[8]​ y, por lo tanto,   es una seminorma.

Ejemplos de paranormas

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  • Si   es una pseudométrica invariante de traslación en un espacio vectorial   que induce una topología vectorial   en   (es decir,   es un EVT), entonces la aplicación   define una paranorma continua en  . Además, la topología que esta paranorma   define en   es  .[8]
  • Si   es una paranorma en  , entonces también lo es la aplicación  .[8]
  • Cada múltiplo escalar positivo de una paranorma (o paranorma total) es nuevamente una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total).
  • Cada seminorma es una paranorma.[8]
  • La restricción de una paranorma (o paranorma total) a un subespacio vectorial es una paranorma (o, respectivamente, una paranorma total).[9]
  • La suma de dos paranormas es una paranorma.[8]
  • Si   y   son paranormas en  , entonces también lo es  . Además,   y  , lo que convierte el conjunto de paranormas en   en un retículo condicionalmente completo.[8]
  • Cada una de las siguientes aplicaciones de valor real son paranormas en  :
    •  
    •  
  • Las aplicaciones de valor real   y   no son una paranorma en  .[8]
  • Si   es una base en un espacio vectorial  , entonces la aplicación de valor real que hace corresponder   (donde todos menos un número finito de los escalares   son 0) a   es una paranorma en  , que satisface   para todos los   y los escalares  .[8]
  • La función   es una paranorma en   que no es equilibrada pero, sin embargo, es equivalente a la norma habitual en  . Téngase en cuenta que la función   es subaditiva.[10]
  • Sea   un espacio vectorial complejo y denótese por   a   considerado como un espacio vectorial sobre  . Cualquier paranorma en   es también una paranorma en  .[9]

F-seminormas

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Si   es un espacio vectorial sobre los números reales o los complejos, entonces una F-seminorma en   (la letra   hace referencia a Fréchet) es una aplicación de valor real   con las siguientes cuatro propiedades:[11]

  1. No negativo':  .
  2. 'Subaditivo:   para todos los  
  3. 'Equilibrado:   para   todos los escalares   que satisfacen  
    • Esta condición garantiza que cada conjunto de la forma   o   para algún   sea un conjunto equilibrado.
  4. Por cada  ,   como  
    • La secuencia   puede ser reemplazada por cualquier secuencia positiva que converja al cero.[12]

Una seminorma F se denomina norma F' si además satisface:

  1. Total/Positiva definida:   implica  .

Una seminorma F se llama monótona si satisface:

  1. Monótona:   para todos los   distintos de cero y todos los   y   reales de modo que  .[12]

Espacios F-seminormados

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Un F-espacio seminormado (o F-espacio normado)[12]​ es un par   que consta de un espacio vectorial   y una F-seminorma (o respectivamente, F-norma)   en  .

Si   y   son espacios F seminormados, entonces una aplicación   se llama embebido isométrico'[12]​ si  .

Cada embebido isométrico de un espacio seminormado F en otro es un embebido topográfico, pero lo contrario no es cierto en general.[12]

Ejemplos de F-seminormas

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  • Cada múltiplo escalar positivo de una F-seminorma (o respectivamente F-norma o seminorma) es nuevamente una F-seminorma (o respectivamente, F-norma o seminorma).
  • La suma de un número finito de F-seminormas (o respectivamente F-normas) es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma).
  • Si   y   son F-seminormas en  , entonces también lo es su supremo puntual  . Lo mismo ocurre con el supremo de cualquier familia finita no vacía de F-seminormas en  .[12]
  • La restricción de una F-seminorma (o respectivamente, F-norma) a un subespacio vectorial es una F-seminorma (o respectivamente, una F-norma).[9]
  • Una función de valor real no negativo en   es una seminorma si y solo si es una F-seminorma convexa, o de manera equivalente, si y solo si es una G-seminorma convexa equilibrada.[10]​ En particular, cada seminorma es una F-seminorma.
  • Para cualquier  , la aplicación   en   definida por
     
    es una F-norma, pero que no es una norma.
  • Si   es una aplicación lineal y si   es una F-seminorma en  , entonces   es una F-seminorma en  .[12]
  • Sea   un espacio vectorial complejo y denótese como   un   considerado como un espacio vectorial sobre  . Cualquier F-seminorma en   también es una F-seminorma en  .[9]

Propiedades de las seminormas F

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Cada seminorma F es una paranorma y cada paranorma es equivalente a alguna seminorma F.[7]​ Cada seminorma F en un espacio vectorial   es un valor en  . En particular,  , y   para todo  .

Topología inducida por una seminorma única F

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Teorema[11]

Sea   una seminorma F en un espacio vectorial  . Entonces, la aplicación   definida por

 

es una pseudométrica invariante de traslación en   que define una topología vectorial   en  . Si   es una norma F, entonces   es una métrica. Cuando   está dotado de esta topología, entonces   es una aplicación continua en  .

Los conjuntos equilibrados  , ya que   se extiende sobre los números reales positivos, forman una base de entorno en el origen para esta topología que consiste en un conjunto cerrado. De manera similar, los conjuntos equilibrados  , cuando   se extiende sobre los números reales positivos, forman una base de entorno en el origen de esta topología que consta de conjuntos abiertos.

Topología inducida por una familia de seminormas F

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Supóngase que   es una colección no vacía de seminormas F en un espacio vectorial   y para cualquier subconjunto finito   y cualquier  , sea

 .

El conjunto   forma una base de filtro en   que también forma una base de entorno en el origen para una topología vectorial en   denotada por  .[12]​. Cada   es un subconjunto equilibrado y absorbente de  .[12]​. Estos conjuntos satisfacen que[12]

 .
  •   es la topología vectorial más aproximada en  , lo que hace que cada   sea continuo.[12]
  •   es de Hausdorff si y solo si para cada   distinto de cero, existe algún   tal que  .[12]
  • Si   es el conjunto de todas las seminormas F continuas en  , entonces  .[12]
  • Si   es el conjunto de todos los supremos puntuales de subconjuntos finitos no vacíos de   de  , entonces   es una familia dirigida de seminormas F y  .[12]

Combinación de Fréchet

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Supóngase que   es una familia de funciones subaditivas no negativas en un espacio vectorial  .

La combinación de Fréchet[8]​ de   se define como la aplicación de valor real

 .

Como una F-seminorma

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Supóngase que   es una secuencia creciente de seminormas en   y sea   la combinación de Fréchet de  . Entonces,   es una F-seminorma en   que induce la misma topología localmente convexa que la familia   de seminormas.[13]

Dado que   es creciente, una base de entornos abiertas del origen consta de todos los conjuntos de la forma  , ya que   abarca todos los números enteros positivos y   abarca todos los números reales positivos.

La pseudométrica invariante a la traslación sobre   inducida por esta F-seminorma   es

 .

Esta métrica para los espacios de secuencias reales y complejas con operaciones puntuales fue descubierta por Maurice Fréchet en su tesis doctoral de 1906.[14]

Como paranorma

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Si cada   es una paranorma, entonces   también lo es y, además,   induce la misma topología en   que la familia   de paranormas.[8]​ Esto también se aplica a las siguientes paranormas en  :

  •  .[8]
  •  .[8]

Generalización

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La combinación de Fréchet se puede generalizar mediante el uso de una función de remetrización acotada.

Una función de remetrización acotada[15]​ es una aplicación   continua, no negativa y no decreciente que tiene un rango acotado, es subaditiva (lo que significa que   para todos los  ) y satisface que   si y solo si  .

Ejemplos de funciones de remetrización acotadas incluyen  ,  ,  , y  .[15]

Si   es una pseudométrica (respectivamente, métrica) en   y   es una función de remetrización acotada, entonces   es una pseudométrica acotada (respectivamente, métrica acotada) en   que es uniformemente equivalente a  .[15]

Supóngase que   es una familia de seminormas F no negativa en un espacio vectorial  ,   es una función de remetrización acotada y   es una secuencia de números reales positivos cuya suma es finita. Entonces

 

define una seminorma F acotada que es uniformemente equivalente a  .[16]​ Tiene la propiedad de que para cualquier   neto en  ,   si y solo si   para todos los  .[16]  es una norma F si y solo si   separa puntos en  .[16]

Caracterizaciones

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De (pseudo)métricas inducidas por (semi)normas

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Una pseudométrica (resp. métrica)   es inducida por una seminorma (resp. norma) en un espacio vectorial   si y solo si   es invariante de traslación y absolutamente homogéneo, lo que significa que para todos los escalares   y todos  , en cuyo caso la función definida por   es una seminorma (resp. norma) y la pseudométrica (resp. métrica) inducida por   es igual a  .

De EVT pseudometrizables

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Si   es un espacio vectorial topológico (EVT) (donde tenga en cuenta en particular que se supone que   es una topología vectorial), entonces lo siguiente es equivalente:[11]

  1.   es pseudometrizable (es decir, la topología vectorial   es inducida por una pseudometría en  ).
  2.   tiene una base de entorno contable en el origen.
  3. La topología en   es inducida por una pseudométrica invariante a la traslación en  .
  4. La topología en   está inducida por una seminorma F.
  5. La topología de   está inducida por una paranorma.

De EVT metrizables

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Si   es un EVT, lo siguiente es equivalente:

  1.   es metrizable.
  2.   es Hausdorff y pseudometrizable.
  3.   es Hausdorff y tiene una base de entorno contable en el origen.[11][12]
  4. La topología en   es inducida por una métrica invariante de traslación en  .[11]
  5. La topología en   está inducida por una norma F.[11][12]
  6. La topología en   está inducida por una norma F monótona.[12]
  7. La topología de   está inducida por una paranorma total.

Grupo topológico

Si   es un espacio vectorial topológico, entonces las tres condiciones siguientes son equivalentes:[17][nota 1]

  1. El origen   está cerrado en  , y hay un conjunto numerable basis of neighborhoods para   en  .
  2.   es metrizable (como espacio topológico).
  3. Hay un espacio métrico en   que induce en   la topología  , que es la topología dada en  .

Según el teorema de Birkhoff-Kakutani, se deduce que hay un equivalent metric que es invariante en la traslación.

EVT pseudometrizables localmente convexos

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Si   es EVT, entonces lo siguiente es equivalente:[13]

  1.   es espacio localmente convexo y pseudometrizable.
  2.   tiene una base de entorno contable en el origen que consta de conjuntos convexos.
  3. La topología de   es inducida por una familia contable de seminormas (continuas).
  4. La topología de   es inducida por una secuencia creciente contable de seminormas (continuas)   (creciente significa que para todos  ,  .
  5. La topología de   es inducida por una seminorma F de la forma:
     
    donde   son seminormas (continuas) en  .[18]

Cocientes

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Sea   un subespacio vectorial de un espacio vectorial topológico  .

  • Si   es un EVT pseudometrizable, entonces también lo es  .[11]
  • Si   es un EVT pseudometrizable completo y   es un subespacio vectorial cerrado de  , entonces   está completo.[11]
  • Si   es EVT metrizable y   es un subespacio vectorial cerrado de  , entonces   es metrizable.[11]
  • Si   es una seminorma F en  , entonces la aplicación   definida por
     
    es una seminorma F en   que induce la topología habitual en  .[11]​ Si además   es una norma F en   y si   es un subespacio vectorial cerrado de   entonces   es una norma F en  .[11]

Ejemplos y condiciones suficientes

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  • Cada seminorma   es pseudometrizable con una pseudométrica canónica dada por   para todos los  .[19]​.
  • Si   es un EVT pseudométrico con un  , pseudométrico invariante de traslación, entonces   define una paranorma.[20]​ Sin embargo, si   es una pseudométrica invariante de traslación en el espacio vectorial   (sin la condición de adición de que   sea un EVT pseudométrico), entonces   no necesita ser ni una seminorma F[21]​ ni una paranorma.
  • Si un EVT tiene una entorno acotada del origen, entonces es pseudometrizable; lo contrario es en general falso.[14]
  • Si un EVT de Hausdorff tiene un entorno acotado del origen, entonces es metrizable.[14]
  • Supóngase que   es un DF-espacio o un LM-espacio. Si   es un espacio secuencial, entonces es metrizable o es un espacio DF de Montel.

Si   es un EVT localmente convexo de Hausdorff, entonces   con una topología fuerte,  , es metrizable si y solo si existe un conjunto contable   de subconjuntos acotados de   tales que cada subconjunto acotado de   esté contenido en algún elemento de  .[22]

El espacio dual fuerte   de un espacio localmente convexo metrizable (como un espacio de Fréchet[23]​)   es un DF-espacio.[24]​ El dual fuerte de un espacio DF es un espacio de Fréchet.[25]​ El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio bornológico.[24]​ El bidual fuerte (es decir, el espacio dual fuerte de un espacio dual fuerte) de un espacio localmente convexo metrizable es un espacio de Fréchet.[26]​ Si   es un espacio metrizable localmente convexo, entonces su dual fuerte   tiene una de las siguientes propiedades, si y solo si tiene todas estas propiedades: (1) bornología, (2) infrabarrilado, (3) barrilado.[26]

Normabilidad

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Un espacio vectorial topológico es seminormable si y solo si tiene un entorno acotado convexo del origen. Además, un EVT es normable si y solo si es de Hausdorff y seminormable.[14]​ Cada EVT metrizable en un espacio vectorial dimensional finito es un espacio localmente convexo EVT completo normal, siendo el EVT isomórfico al espacio euclídeo. En consecuencia, cualquier EVT metrizable que sea normable no debe ser de dimensión infinita.

Si   es un EVT localmente convexo| metrizable que posee un sistema fundamental contable de conjuntos acotados, entonces   es normal.[27]

Si   es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces lo siguiente es equivalente:

  1.   es normable.
  2.   tiene una entorno acotado (de von Neumann) del origen.
  3. El espacio dual fuerte   de   es normal.[28]

y si este espacio localmente convexo   también es metrizable, entonces se puede agregar lo siguiente a esta lista:

  1. El espacio dual fuerte de   es metrizable.[28]
  2. El espacio dual fuerte de   es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[23]

En particular, si un espacio localmente convexo metrizable   (como un espacio de Fréchet) no es normable, entonces su espacio dual fuerte   no es un espacio de Fréchet–Urysohn y, en consecuencia, este espacio completo localmente convexo de Hausdorff   tampoco es metrizable ni normable.

Otra consecuencia de esto es que si   es un EVT localmente convexo reflexivo cuyo dual fuerte   es metrizable, entonces   es necesariamente un espacio de Fréchet reflexivo,   es un DF-espacio, tanto   como   son necesariamente espacios reticulados ultrabornológicos distinguidos completos de Hausdorff y, además,   es normable si y solo si   es normalable si y solo si   es un espacio de Fréchet-Urysohn si y solo si   es metrizable. En particular, dicho espacio   es un espacio de Banach o ni siquiera es un espacio de Fréchet-Urysohn.

Conjuntos acotados métricamente y conjuntos acotados

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Supóngase que   es un espacio pseudométrico y  . El conjunto   está limitado métricamente o limitado por   si existe un número real   tal que   para todo  ; el   más pequeño se denomina diámetro o diámetro   de  .[14]​ Si   está acotado en un EVT pseudometrizable  , entonces está acotado métricamente. Lo contrario es en general falso, pero es cierto para los EVT metrizables localmente convexos.[14]

Propiedades de un EVT pseudometrizable

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Teorema[29]

Todos los EVT metrizables completos separables de dimensión infinita son homeomorfismos.

  • Cada EVT localmente convexo metrizable es un espacio casibarrilado,[30]​ un espacio bornológico y un espacio de Mackey.
  • Cada EVT pseudometrizable completo es un espacio barrilado y un espacio de Baire (y por lo tanto, no es escaso).[31]​ Sin embargo, existen espacios de Baire metrizables que no son completos.[31]
  • Si   es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de   es bornológico si y solo si es barrilado, si y solo si es infrabarrilado.[26]
  • Si   es un EVT pseudometrizable completo y   es un subespacio vectorial cerrado de  , entonces   está completo.[11]
  • El dual fuerte de un EVT metrizable localmente convexo es un espacio reticulado.[32]
  • Si   y   son EVT metrizables completos (es decir, F-espacios) y si   es más grueso que  , entonces  ;[33]​ ya no se garantiza que esto sea cierto si alguno de estos EVT metrizables no es completo.[34]​ Dicho de otra manera, si   y   son F-espacios pero con diferentes topologías, entonces ni   ni   contienen al otro como un subconjunto. Una consecuencia particular de esto es, por ejemplo, que si   es un espacio de Banach y   es algún otro espacio normado cuya topología inducida por normas es más fina (o alternativamente, más gruesa) que la de   (es decir, si   o si   para alguna constante  ), entonces la única manera de que   pueda ser un espacio de Banach (es decir, también estar completo) es si estas dos normas   y   son equivalentes. Si no son equivalentes, entonces   no puede ser un espacio de Banach. Como otra consecuencia, si   es un espacio de Banach y   es un espacio de Fréchet, entonces la función   es continua si y solo si el espacio   es de Fréchet y el EVT   (aquí, el espacio de Banach   se considera como un EVT, lo que significa que su norma es "olvidadiza", aunque se recuerda su topología).
  • Un espacio localmente convexo metrizable es normable si y solo si su espacio dual fueerte es un espacio de Fréchet–Urysohn localmente convexo.[23]
  • Cualquier producto de EVT metrizables completos es un espacio de Baire.[31]
  • Un producto de EVTs metrizables es metrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos EVTs tienen la dimensión  .[35]
  • .
  • Un producto de EVTs pseudometrizables es pseudometrizable si y solo si todos, pero a lo sumo contablemente, muchos de estos EVTs tienen la topología trivial.
  • Cada EVT pseudometrizable completo es un espacio barrilado y un espacio de Baire (y por lo tanto, no escaso).[31]
  • La dimensión de un EVT metrizable completo es finita o incontable.[35]

Integridad

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Cada espacio vectorial topológico (y más generalmente, un grupo topológico) tiene un espacio uniforme canónico, inducido por su topología, que permite aplicarle las nociones de completitud y continuidad uniforme. Si   es un EVT metrizable y   es una métrica que define la topología de  , entonces es posible que   esté completo como EVT (es decir, en relación con su uniformidad), pero la métrica   no a espacio métrico completo (dichas métricas existen incluso para  ). Por lo tanto, si   es un EVT cuya topología es inducida por un  , pseudométrico, entonces la noción de completitud de   (como EVT) y la noción de completitud del espacio pseudométrico   no siempre son equivalentes. El siguiente teorema da una condición para cuando son equivalentes:

Teorema

Si   es un EVT pseudometrizable cuya topología es inducida por una pseudométrica invariante a la traslación  , entonces   es una pseudométrica completo en   si y solo si   está completo como EVT.[36]

Teorema[37][38]

Sea   cualquier métrica[nota 2]​ en un espacio vectorial   tal que la topología   inducida por   en   convierte a   en un espacio vectorial topológico. Si   es un espacio métrico completo, entonces   es un EVT completo.

Teorema

Si   es un EVT cuya topología es inducida por una paranorma  , entonces   está completo si y solo si para cada secuencia   en  , si  , y entonces   converge en  .[39]

Si   es un subespacio vectorial cerrado de un EVT  , pseudometrizable completo, entonces el espacio cociente   está completo.[40]​ Si   es un subespacio vectorial completo de un EVT metrizable   y si el espacio cociente   está completo, entonces también lo está  .[40]​. Si   no está completo, entonces  , es un subespacio vectorial de   que tampoco es completo.

Un grupo topológico separable de Baire es metrizable si y solo si es cósmico.[23]

Subconjuntos y subsecuencias

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  • Sea   un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable, y sea   su compleción. Si   es un subconjunto acotado de  , entonces existe un subconjunto acotado   de   tal que  .[41]
  • Cada subconjunto totalmente acotado de un EVT metrizable localmente convexo   está contenido en la envolvente convexa equilibrada cerrada de alguna secuencia en   que converge a  .
  • En un EVT pseudometrizable, cada bornívoro es un entorno del origen.[42]
  • Si   es una métrica invariante de traslación en un espacio vectorial  , entonces   para todo   y cada entero positivo  .[43]
  • Si   es una secuencia nula (es decir, converge al origen) en un EVT metrizable, entonces existe una secuencia   de números reales positivos que divergen hacia   tal que  .[43]
  • Un subconjunto de un espacio métrico completo está cerrado si y solo si está completo. Si un espacio   no está completo, entonces   es un subconjunto cerrado de   que no está completo.
  • Si   es un EVT localmente convexo metrizable, entonces para cada subconjunto acotado   de  , existe un disco   acotado en   tal que  , y tanto   como el espacio normado auxiliar   inducen el mismo subespacio topológico en  .[44]

Teorema de Banach-Saks[45]

Si   es una secuencia en un EVT localmente convexo metrizable   que converge débilmente con algún  , entonces existe una secuencia   en   tal que   en   y cada   es una combinación convexa de un número finito de  .

Condición de numerabilidad de Mackey[14]

Supóngase que   es un EVT metrizable localmente convexo y que   es una secuencia contable de subconjuntos acotados de  . Entonces, existe un subconjunto acotado   de   y una secuencia   de números reales positivos tales que   para todo  .

Serie generalizada'

Como se describe en la sección de series generalizadas de este artículo, para cualquier familia indexada     de vectores de un EVT  , es posible definir su suma   como el límite de la red de sumas parciales finitas  , donde el dominio   es dirigido por  . Si   y  , por ejemplo, entonces la serie generalizada   converge si y solo si   converge incondicionalmente en el sentido habitual (que para números reales, es equivalente a convergencia absoluta). Si una serie generalizada   converge en un EVT metrizable, entonces el conjunto   es necesariamente numerable (es decir, finito o infinito numerable).[demo 1]​ En otras palabras, todos menos un número contable de   serán cero, por lo que esta serie generalizada   es en realidad una suma de un número contable de términos distintos de cero.

Aplicacións lineales

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Si   es un EVT pseudometrizable y   asigna subconjuntos acotados de   a subconjuntos acotados de  , entonces   es continuo.[14]​ Existen funcionales lineales discontinuos en cualquier EVT pseudometrizable de dimensión infinita.[46]​ Por lo tanto, un EVT pseudometrizable es de dimensión finita si y solo si su espacio dual continuo es igual a su espacio dual.[46]

Si   es una aplicación lineal entre EVT y   es metrizable, entonces lo siguiente es equivalente:

  1.   es continua;
  2.   es una aplicación acotada (localmente) (es decir,   asigna subconjuntos acotados (de von Neumann) de   a subconjuntos acotados de  );[12]
  3.   es secuencialmente continua;[12]
  4. La imagen bajo   de cada secuencia nula en   es un conjunto acotado en el que,[12]​ por definición, una secuencia nula es una secuencia que converge al origen.
  5.   asigna secuencias nulas a secuencias nulas.

Aplicaciones abiertas y casi abiertas

Teorema: Si   es un EVT pseudometrizable completo,   es un EVT de Hausdorff y   es una sobreyección lineal cerrada y casi abierta, entonces   es una aplicación abierta.[47]
Teorema: Si   es un operador lineal sobreyectivo de un espacio localmente convexo   sobre un espacio abarrilado   (por ejemplo, cada espacio pseudometrizable completo es abarrilado), entonces   es casi abierto.[47]
Teorema: Si   es un operador lineal sobreyectivo de un EVT   sobre un espacio de Baire  , entonces   es casi abierto.[47]
Teorema: Supóngase que   es un operador lineal continuo de un EVT   pseudometrizable completo sobre un EVT   de Hausdorff. Si la imagen de   no es un conjunto escaso en  , entonces   es un aplicación abierta sobreyectiva, e   es un espacio metrizable completo.[47]

Propiedad de ampliación de Hahn-Banach

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Un subespacio vectorial   de un EVT   tiene la propiedad de extensión si cualquier funcional lineal continuo en   se puede extender a un funcional lineal continuo en  .[22]​ Se puede decir que un EVT   tiene la propiedad de extensión de Hahn-Banach (PEHB) si cada subespacio vectorial de   tiene la propiedad de extensión.[22]

El teorema de Hahn–Banach garantiza que cada espacio localmente convexo de Hausdorff tenga la PEHB. Para EVT completamente metrizables existe un proceso inverso:

Teorema

Todo EVT metrizable completo con la propiedad de extensión de Hahn-Banach es localmente convexo.[22]

Si un espacio vectorial   tiene una dimensión incontable y si se dota con la mejor topología vectorial, entonces este es un EVT con PEHB que no es localmente convexo ni metrizable.[22]

Véase también

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  1. De hecho, esto es cierto para el grupo topológico, ya que la prueba no utiliza multiplicaciones escalares.
  2. No se supone que sea invariante a la traslación.

Demostraciones

  1. Supóngase que la red   converge a algún punto en un EVT metrizable  , donde se recuerda que el dominio de esta red es el conjunto dirigido  . Como toda red convergente, esta red convergente de sumas parciales   es una red, lo que en este caso particular significa que (por definición) para cada entorno del origen   en  , existe un subconjunto finito   de   tal que   para todos los superconjuntos finitos  . Esto implica que   por cada   (tomando   y  ). Dado que   es metrizable, tiene una base de vecindad contable   en el origen, cuya intersección es necesariamente   (ya que   es un EVT de Hausdorff). Para cada entero positivo  , se elige un subconjunto finito   tal que   para cada  . Si   pertenece a  , entonces   pertenece a  . Por tanto,   para cada índice   que no pertenece al conjunto numerable  .  

Referencias

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  1. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 1-18.
  2. a b c Narici y Beckenstein, 2011, pp. 37-40.
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  4. Wilansky, 2013, p. 17.
  5. a b Wilansky, 2013, pp. 40-47.
  6. Wilansky, 2013, p. 15.
  7. a b Schechter, 1996, pp. 689-691.
  8. a b c d e f g h i j k l m n ñ Wilansky, 2013, pp. 15-18.
  9. a b c d Schechter, 1996, p. 692.
  10. a b Schechter, 1996, p. 691.
  11. a b c d e f g h i j k l Narici y Beckenstein, 2011, pp. 91-95.
  12. a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s Jarchow, 1981, pp. 38-42.
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  14. a b c d e f g h Narici y Beckenstein, 2011, pp. 156-175.
  15. a b c Schechter, 1996, p. 487.
  16. a b c Schechter, 1996, pp. 692-693.
  17. Köthe, 1983, section 15.11
  18. Schechter, 1996, p. 706.
  19. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.
  20. Wilansky, 2013, pp. 15-16.
  21. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 91-92.
  22. a b c d e Narici y Beckenstein, 2011, pp. 225-273.
  23. a b c d Gabriyelyan, S.S. "On topological spaces and topological groups with certain local countable networks (2014)
  24. a b Schaefer y Wolff, 1999, p. 154.
  25. Schaefer y Wolff, 1999, p. 196.
  26. a b c Schaefer y Wolff, 1999, p. 153.
  27. Schaefer y Wolff, 1999, pp. 68-72.
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  33. Köthe, 1969, p. 168.
  34. Wilansky, 2013, p. 59.
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  38. Klee, V. L. (1952). «Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)». Proc. Amer. Math. Soc. 3 (3): 484-487. doi:10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4. 
  39. Wilansky, 2013, pp. 56-57.
  40. a b Narici y Beckenstein, 2011, pp. 47-66.
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  47. a b c d Narici y Beckenstein, 2011, pp. 466-468.

Bibliografía

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