Función sublineal

aplicación topológica con solo algunas de las propiedades de una seminorma
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En álgebra lineal, una función sublineal (o funcional, como se usa más a menudo en análisis funcional), también llamada cuasi-seminorma o funcional de Banach, en un espacio vectorial es una función con valor real con solo algunas de las propiedades de una seminorma. A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener un valor con signo, y tampoco tiene por qué ser homogénea. Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de norma, donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma, excepto que no es necesario asignar vectores distintos de cero a valores distintos de cero.

En análisis funcional a veces se utiliza el nombre de funcional de Banach, lo que refleja que se utiliza con mayor frecuencia cuando se aplica la formulación general del teorema de Hahn–Banach. La noción de función sublineal fue introducida por Stefan Banach cuando demostró su versión del teorema de Hahn–Banach.[1]

También se emplea una noción diferente en ciencias de la computación (que se describe más adelante), que también se conoce con el nombre de "función sublineal".

Definiciones

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Sea   un espacio vectorial sobre un cuerpo   donde   es el conjunto de los números reales   o el conjunto de los números complejos   Una función de valor real   en   se llama función sublineal (o funcional si es  ), y a veces también se llama casi seminorma o funcional de Banach, si tiene estas dos propiedades:[1]

  1. Homogeneidad positiva'/Homogeneidad no negativa:[2]  para todos los   reales y todos los  
    • Esta condición se cumple si y solo si   para todo   real positivo y todo  
  2. Subaditividad/Desigualdad triangular:[2]  para todos los  
    • Esta condición de subaditividad requiere que   tenga un valor real.

Una función   se llama positiva[3]​ o no negativa si   para todos los  , aunque algunos autores[4]​ definen positivo en el sentido de que   siempre que  . Estas definiciones no son equivalentes. Es una función simétrica si   para todos los   Toda función simétrica subaditiva es necesariamente no negativa.[demo 1]​ Una función sublineal en un espacio vectorial real es simétrica si y solo si es una seminorma. Una función sublineal en un espacio vectorial real o complejo es una seminorma si y solo si es equilibrada o, de manera equivalente, si y solo si   para cada escalar de longitud unidad   (que satisface  ) y cada  

El conjunto de todas las funciones sublineales en   denotado por   puede ser parcialmente ordenado declarando que   si y solo si   para todo   Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo de   bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y solo si es una funcional lineal real.[1]

Ejemplos y condiciones suficientes

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Cada norma, seminorma y funcional lineal real es una función sublineal. La función identidad   en   es un ejemplo de función sublineal (de hecho, es incluso una funcional lineal) que no es ni positiva ni seminorma; lo mismo ocurre con la negación de esta aplicación  [5]​ De manera más general, para cualquier   real, la aplicación

 

es una función sublineal en   y además, toda función sublineal   tiene esta forma. Específicamente, si   y  , entonces   y  .

Si   y   son funciones sublineales en un espacio vectorial real  , entonces también lo es la aplicación  . Más generalmente, si   es cualquier colección no vacía de funcionales sublineales en un espacio vectorial real  , y si para todo  ,  , entonces   es un funcional sublineal en  [5]

Una función   que es subaditiva, convexa y que satisface que  , también es positivamente homogénea (la última condición   es necesaria como muestra el ejemplo de   en  ). Si   es positivamente homogéneo, es convexo si y solo si es subaditivo. Por lo tanto, suponiendo que  , dos propiedades cualesquiera entre subaditividad, convexidad y homogeneidad positiva implican la tercera.

Propiedades

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Cada función sublineal es una función convexa: para  

 

Si   es una función sublineal en un espacio vectorial  , entonces[demo 2][3]

 

para cada  , lo que implica que al menos uno de los valores de   y   debe ser no negativo, es decir, por cada  [3]  Además, cuando   es una función sublineal en un espacio vectorial real, entonces la aplicación   definida por   es una seminorma.[3]

La subaditividad de   garantiza que para todos los vectores  [1][demo 3]

 
 

entonces, si   también es simétrica, entonces la desigualdad triangular se mantendrá para todos los vectores  

 

Definir   y luego la subaditividad también garantiza que para todos los   el valor de   en el conjunto   sea constante e igual a  .[demo 4]​ En particular, si   es un subespacio vectorial de  , entonces   y la asignación  , que se denotará por  , es una función sublineal de valor real bien definida en el espacio cociente   que satisface  . Si   es una seminorma, entonces   es solo la norma canónica habitual en el espacio cociente  .

Lema de sublinealidad de Pryce[2]

Supóngase que   es un funcional sublineal en un espacio vectorial   y que   es un subconjunto convexo no vacío. Si   es un vector y   son números reales positivos tales que

 

entonces para cada   real positivo existe algún   tal que

 

Agregar   a ambos lados de la hipótesis   (donde  ) y combinarlo con la conclusión genera el resultado siguiente:

 

lo que produce muchas más desigualdades, incluyendo, por ejemplo,

 

en el que una expresión de un lado de una desigualdad estricta   se puede obtener del otro reemplazando el símbolo   por   (o viceversa) y moviendo el paréntesis de cierre a la derecha (o izquierda) de un sumando adyacente (todos los demás símbolos permanecen fijos y sin cambios).

Seminorma asociada

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Si   es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial real   (o si   es complejo, entonces, cuando se considera como un espacio vectorial real), se tiene que la aplicación   define una seminorma en el espacio vectorial real   llamada seminorma asociada con  .[3]​ Una función sublineal   en un espacio vectorial real o complejo es función simétrica si y solo si   donde   como antes.

De manera más general, si   es una función sublineal de valor real en un espacio vectorial (real o complejo)  , entonces

 

definirá una seminorma en   si este supremo es siempre un número real (es decir, nunca igual a  ).

Relación con funcionales lineales

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Si   es una función sublineal en un espacio vectorial real  , entonces los siguientes enunciados son equivalentes:[1]

  1.   es un funcional lineal.
  2. por cada    
  3. por cada    
  4.   es una función sublineal mínima.

Si   es una función sublineal en un espacio vectorial real  , entonces existe una función lineal   en   tal que  [1]

Si   es un espacio vectorial real,   es una funcional lineal en   y   es una función sublineal positiva en   entonces   en   si y solo si  [1]

Dominación de un funcional lineal

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Una función de valor real   definida en un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo   se dice que es dominada por una función sublineal   si   para cada   que pertenece al dominio de   Si   es un funcional lineal real en  ,[6][1]​ entonces   está dominado por   (es decir,  ) si y solo si   Además, si   es una seminorma o alguna otra aplicación simétrica (que por definición, significa que   es válido para todos los  ), entonces   si y solo si  .

Teorema[1]

Si   es una función sublineal en un espacio vectorial real   y si  , entonces existe una funcional lineal   en   que está dominada por   (es decir,  ) y satisface que   Además, si   es un espacio vectorial topológico y   es continua en el origen, entonces   es continua.

Continuidad

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Teorema[7]

Supóngase que   es una función subaditiva (es decir,   para todo  ). Entonces,   es continua en el origen si y solo si   es uniformemente continua en   Si   satisface  , entonces   es continua si y solo si su valor absoluto   es continuo. Si   es no negativa, entonces   es continua si y solo si   es abierta en  .

Supóngase ahora que   es un espacio vectorial topológico (EVT) sobre los números reales o los números complejos y   es una función sublineal sobre  . Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:[7]

  1.   es continua.
  2.   es continua en 0.
  3.   es uniformemente continua en  .

y si   es positiva, entonces esta lista puede ampliarse para incluir:

  1.   está abierto en  

Si   es un EVT real,   es una función lineal en   y   es una función sublineal continua en   entonces   en   implica que   es continua.[7]

Relación con funciones de Minkowski y conjuntos convexos abiertos

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Teorema[7]

Si   es una vecindad abierta convexa del origen en un espacio vectorial topológico  , entonces el funcional de Minkowski de     es una función sublineal continua no negativa en   tal que  . Además, si   es un conjunto equilibrado, entonces   es una seminorma en  

Relación con conjuntos convexos abiertos

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Teorema[7]

Supóngase que   es un espacio vectorial topológico (no necesariamente localmente convexo o de Hausdorff) sobre los números reales o complejos. Entonces, los subconjuntos convexos abiertos de   son exactamente aquellos que tienen la forma

 

para algún   y alguna función sublineal continua positiva   en  

Demostración
Sea   un subconjunto convexo abierto de  

Si  , entonces hacer que   y, en caso contrario, considérese que   sea arbitrario. Sea   el funcional de Minkowski de  , que es una función sublineal continua en  , ya que   es convexo, absorbente y abierto (aunque   no es necesariamente una seminorma, ya que no se supuso que   fuera equilibrado). De   se deduce que

 

Comprobando que   se completa la demostración. Una de las propiedades de los funcionales de Minkowski conocidas garantiza que   donde   ya que   es convexo y contiene el origen. Por lo tanto,   tal como se buscaba.  

Operadores

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El concepto puede extenderse a operadores homogéneos y subaditivos. Esto requiere solo que el codominio sea, póngase por caso, un espacio vectorial ordenado para que las condiciones tengan sentido.

Definición en informática

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En ciencias de la computación, una función   se llama sublineal si   o   en notación asintótica (obsérvese el pequeño símbolo  ). Formalmente,   si y solo si, para cualquier   dado existe un   tal que   para  [8]​ Es decir,   crece más lentamente que cualquier función lineal. Los dos significados no deben confundirse: mientras que un funcional de Banach es convexo, ocurre casi lo contrario con las funciones de crecimiento sublineal: cada función   puede estar acotada superiormente por una función cóncava de crecimiento sublineal.[9]

Véase también

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Demostraciones

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  1. Sea   La desigualdad triangular y la simetría implican que  . Sustituir   por   y luego restar   de ambos lados demuestra que  . Por lo tanto,  , lo que implica que  .  
  2. Si   y  , entonces la homogeneidad no negativa implica que  . En consecuencia,   lo que solo es posible si    
  3.   lo que sucede si y solo si     Sustituyendo   se obtiene   lo que implica que   (no se necesita homogeneidad positiva; la desigualdad triangular es suficiente).  
  4. Sea   y   Queda por demostrar que   La desigualdad triangular implica que   Dado que   entonces   como se buscaba.  

Referencias

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  1. a b c d e f g h i Narici y Beckenstein, 2011, pp. 177-220.
  2. a b c Schechter, 1996, pp. 313-315.
  3. a b c d e Narici y Beckenstein, 2011, pp. 120-121.
  4. Kubrusly, 2011, p. 200.
  5. a b Narici y Beckenstein, 2011, pp. 177-221.
  6. Rudin, 1991, pp. 56-62.
  7. a b c d e Narici y Beckenstein, 2011, pp. 192-193.
  8. Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001) [1990]. «3.1». Introducción a los algoritmos (2nd edición). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 47-48. ISBN 0-262-03293-7. 
  9. Ceccherini-Silberstein, Tullio; Salvatori, Maura; Sava-Huss, Ecaterina (29 de junio de 2017). Groups, graphs, and random walks. Cambridge. Lemma 5.17. ISBN 9781316604403. OCLC 948670194. 

Bibliografía

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