Espacio normado auxiliar

en topología, resultado de la generación de espacios normados a partir de discos

En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:[1]

  • El primero de estos métodos se utiliza si el disco está acotado. En este caso, el espacio normado auxiliar es , con la norma
  • El otro método se utiliza si el disco es absorbente. En este segundo caso, el espacio normado auxiliar es el espacio cociente

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).

Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

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En este artículo,   será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y   será un disco en  

Espacio seminormado inducido por un disco

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Sea   un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto   de   el Funcional de Minkowski de   se define por:

  • Si  , entonces define   como la aplicación trivial  [2]​ y se asumirá que  [note 1]
  • Si   y si   es absorbente en  , entonces denota el funcional de Minkowski de   en   por
 

donde para todos los   esto se define por : 

Sea   un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto   de   tal que el   funcional de Minkowski sea una seminorma en   denótese por  

 

que se denomina seminorma inducida por   donde si   es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por  

Supuesto (Topología):   está dotado de la topología de la seminorma inducida por   que se denotará por   o  

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto   la estructura algebraica de   y la topología habitual en   (ya que   se define usando solo el conjunto   y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión   se denomina "aplicación canónica".[1]

Supóngase que   es un disco. Entonces,   para que   sea absorbente en   el sistema generador de   El conjunto   de todos los múltiplos escalares positivos de   forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo   en   El funcional de Minkowski del disco   en   garantiza que   esté bien definido y forme una seminorma en  [3]​ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología   que se definió anteriormente.

Definición de disco de Banach

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Un disco acotado   en un espacio vectorial topológico   tal que   sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en  

Si se muestra que   es un espacio de Banach, entonces   será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga   como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional   de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si   forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco   y de   el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que   pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT   sea un subconjunto acotado de   es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT   que lo contiene.

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

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Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Teorema[4][5][1]

Si   es un disco en un espacio vectorial topológico (EVT)   entonces   está acotado en   si y solo si la aplicación de inclusión   es continua.

Demostración
Si el disco   está delimitado en el EVT  , entonces para todos los entornos   del origen en   existe algún   tal que  

De ello se deduce que en este caso la topología de   es más fina que la topología subespacial que   hereda de   lo que implica que la aplicación de inclusión   es continua. Por el contrario, si   tiene una topología EVT tal que   es continua, entonces para cada entorno   del origen en   existe algún   tal que   lo que demuestra que   está acotado en  

Hausdorffsidad

El espacio   es de Hausdorff si y solo si   es una norma, lo que ocurre si y solo si   no contiene ningún subespacio vectorial no trivial.[6]​ En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff  , de modo que   esté acotado en  , entonces   es una norma. Un ejemplo en el que   no es de Hausdorff se obtiene dejando que   y dejando que   sea el eje  .

Convergencia de redes

Supóngase que   es un disco en   tal que   es de Hausdorff y sea   una red en   Entonces,   en   si y solo si existe un   red de números reales tal que   y   para todo  ; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que   para todo  

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si  , entonces   y   en   se define la siguiente aplicación lineal continua:[5]

Si   y   son discos en   con  , entonces denomínese a la aplicación de inclusión   la "inclusión canónica" de   en  

En particular, la topología subespacial que   hereda de   es más débil que la topología inducida por la seminorma de  .[5]

El disco como bola unitaria cerrada

El disco   es un subconjunto cerrado de   si y solo si   es la bola unitaria cerrada de la seminorma  ; esto es

 

Si   es un disco en un espacio vectorial   y si existe una topología EVT   en   tal que   es un subconjunto cerrado y acotado de   entonces   es la bola unitaria cerrada de   (es decir,  ) (véase nota al pie para su demostración).[note 2]

Condiciones suficientes para un disco de Banach

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El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que   es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto,   será un disco Banach en cualquier EVT en el que   esté acotado.

Teorema[7]

Sea   un disco en un espacio vectorial   Si existe una topología EVT de Hausdorff   en   tal que   es un subconjunto secuencialmente completo acotado de   entonces   es un espacio de Banach.

Demostración
Supóngase sin pérdida de generalidad que   y sea   el funcional de Minkowski de  

Dado que   es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff,   no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que   es una norma. Sea   la topología de una norma en   inducida por   donde, dado que   es un subconjunto acotado de     es más fina que  

Debido a que   es convexo y equilibrado, para cualquier  

 

Sea   una secuencia de Cauchy en   Al reemplazar   con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad que para todo  

 

Esto implica que para cualquier  

 

de modo que en particular, tomando   se deduce que   está contenido en   Dado que   es más fina que     es una secuencia de Cauchy en   Para todo     es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de   En particular, esto es cierto para  , por lo que existe algún   tal que   en  

Dado que   para todos los   fijando   y tomando el límite (en  ) como   se deduce que   para cada   Esto implica que   es   lo que implica exactamente que   en   Esto demuestra que   está completo.

Esta suposición está permitida porque   es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.

Tenga en cuenta que incluso si   no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que   es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco   que satisfaga

 

porque  

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

  • Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.[5]
  • Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.[8]
  • La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.[5]

Supóngase que   es un disco acotado en un EVT  

  • Si   es una aplicación lineal continua y   es un disco de Banach, entonces   es un disco de Banach y   induce un isomorfismo sobre el EVT  

Propiedades de los discos de Banach

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Sea   un EVT y   sea un disco limitado en  

Si   es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff  , y si   es barrilado en  , entonces   absorbe a   (es decir, hay un número   tal que  [4]

Si   es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en  , entonces la colección de todos los entornos   donde   abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en   Cuando   tiene esta topología, se denota por   Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff   se denota por  , de modo que   es un espacio de Hausdorff completo y   es una norma en este espacio que convierte a   en un espacio de Banach. El polar de     es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en   y, por lo tanto, es infracompleto.

Si   es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado   de   existe un disco   acotado en   tal que   y tanto   como   inducen la misma topología del subespacio en  [5]

Inducido por un disco radial – cociente

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Supóngase que   es un espacio vectorial topológico y   es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces,   es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa   en   Esta topología de EVT   está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por     que es una seminorma en   definida por   La topología   es de Hausdorff si y solo si   es una norma, o equivalentemente, si y solo si   o equivalente, para lo cual basta que   esté acotado en   La topología   no tiene por qué ser de Hausdorff, pero   sí que lo es.   induce una norma sobre   donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia   elegida. El espacio normado   se denota por   y su completación se denota por  

Si además,   está acotado en  , entonces la seminorma   es una norma, por lo que en particular,   En este caso, se toma   como el espacio vectorial   en lugar de  , de modo que la notación   no sea ambigua (si   denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).[1]

La topología cociente   en   (heredada de la topología original de  ) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

Aplicaciones canónicas

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La aplicación canónica es la clase de equivalencia   que es continua cuando   tiene la topología normal o la topología del cociente.[1]

Si   y   son discos radiales tales como  , entonces  , por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua  , definida enviando   a la clase de equivalencia   donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia   que se elija.[1]

Esta aplicación canónica tiene la norma  ,[1]​ y posee una extensión canónica lineal continua única a   que se denota por  

Supóngase además que   y   son discos acotados en   con  , de modo que   y la inclusión   sea una aplicación lineal continua. Sean     y   las aplicaciones canónicas. Entonces,   y  [1]

Inducido por un disco radial acotado

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Supóngase que   es un disco radial acotado. Dado que   es un disco acotado, si  , entonces se puede crear el espacio normado auxiliar   con la norma  . Como   es radial,   Dado que   es un disco radial, si  , entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar   con la seminorma  . Debido a que   está acotado, esta seminorma es una norma y  , por lo que entonces   Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

Dualidad

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Supongamos que   es un disco equicontinuo débilmente cerrado en   (esto implica que   es débilmente compacto) y sea

 

el polar de   Debido a que   según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo   pertenece a   si y solo si   pertenece al espacio dual continuo de   donde   es el funcional de Minkowski de   definido por  [9]

Conceptos relacionados

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Un disco en un EVT se llama infrabornivoro[5]​ si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada[5]​ si asigna discos de Banach a discos delimitados.

Convergencia rápida

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Se dice que una sucesión   en un EVT   es "rápidamente convergente"[5]​ a un punto   si existe un disco de Banach   tal que tanto   como la sucesión estén (finalmente) contenidos en   y   en  

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.[5]

Véase también

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  1. Este es el espacio vectorial más pequeño que contiene   Alternativamente, si   entonces   puede reemplazarse por  
  2. Supóngase sin pérdida de generalidad que   Dado que   está cerrado en   también está cerrado en   y dado que la seminorma   es el funcional de Minkowski de   que es continuo en   se deduceNarici y Beckenstein (2011, pp. 119–120) que   es la bola unitaria cerrada en  

Referencias

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  1. a b c d e f g h Schaefer y Wolff, 1999, p. 97.
  2. Schaefer y Wolff, 1999, p. 169.
  3. Trèves, 2006, p. 370.
  4. a b Trèves, 2006, pp. 370-373.
  5. a b c d e f g h i j Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-457.
  6. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 115-154.
  7. Narici y Beckenstein, 2011, pp. 441-442.
  8. Trèves, 2006, pp. 370–371.
  9. Trèves, 2006, p. 477.

Bibliografía

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Enlaces externos

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