Espacio pseudométrico

En matemáticas, y más específicamente en topología y análisis funcional, espacio pseudométrico es un concepto que generaliza el de espacio métrico, sustituyendo el concepto de distancia por el de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos puntos distintos puede ser cero.^[1]

Una pseudodistancia o, más generalmente, una familia de pseudodistancias determina en un conjunto una estructura uniforme. El espacio topológico resultante se denomina espacio de calibración o espacio gauge.

Reciprocamente, toda estructura uniforme puede ser inducida por una familia de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia es suficiente para determinar la estructura si y solo si existe un sistema fundamental de entornos numerable.

Definición y propiedades

Un espacio pseudométrico $(X,d)$ es un par formado por un conjunto $X$ y una función $d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ (denominada semidistancia o pseudométrica), con valores reales no negativos, tal que para todo $x,y,z\in X$ ,

$d(x,x)=0$ .
$d(x,y)=d(y,x)$ (simetría)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (desigualdad triangular)

De estas condiciones se deduce que la pseudodistancia no puede tomar valores negativos, ya que $d(x,y)={\tfrac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))\geq {\tfrac {1}{2}}d(x,x)=0$ .

Todo espacio métrico es un espacio pseudométrico. Sin embargo, en general, no se requiere que los puntos sean distinguibles; es decir, puede darse $d(x,y)=0$ para diferentes valores $x\neq y$ .

Utilizando pseudodistancias en lugar de distancias se pueden trasladar fácilmente a los espacios pseudométricos algunos conceptos definidos originalmente para espacios métricos, como el de acotación de conjuntos y funciones o el de continuidad uniforme.

La suma de una familia finita de pseudodistancias $d_{i};\;1\leq i\leq n$ en un conjunto $X$ es otra pseudodistancia $d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)$ .

A partir de una familia numerable de pseudodistancias $d_{i};\;i\in \mathbb {N}$ definidas en el mismo conjunto $X$ puede definirse una distancia por medio de

d(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {d_{i}(x,y)}{1+d_{i}(x,y)}}

Ejemplos

Todo espacio métrico $(M,d)$ es válido como ejemplo de espacios pseudométricos.

La pseudodistancia nula $d(x,y)=0$ definida en cualquier conjunto $X$ determina la topología trivial.

Sea ${\mathcal {F}}(X)$ el espacio de funciones $f\colon X\to \mathbb {R}$ definidas en un conjunto $X$ con valores reales, en el que se ha elegido un punto $x_{0}\in X$ . Este punto induce una pseudodistancia en ${\mathcal {F}}(X)$ definida por

d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|

para todo

f,g\in {\mathcal {F}}(X)

En un espacio vectorial $V$ , una seminorma $p$ induce una pseudodistancia definida por

d(x,y)=p(x-y).

Todo espacio de medida $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ puede verse como un espacio pseudométrico completo definiendo

d(A,B):=\mu (A\Delta B)

para todo

A,B\in {\mathcal {A}}

.

Topología

La topología pseudométrica es la topología inducida por las bolas abiertas

B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},

que forman una base para la topología.^[2]

Se dice que un espacio topológico es pseudometrizable si puede dotarse de una pseudodistancia tal que la topología pseudométrica coincide con la dada.

La diferencia entre pseudodistancias y distancias es esencialmente topológica. Una pseudodistancia es una distancia si y solo si la topología que genera es de Kolmogorov (es decir, puntos diferentes son topológicamente distinguibles).

Pseudodistancias y estructuras uniformes

Definición de una estructura uniforme a partir de una pseudodistancia

Sea $X$ un conjunto dotado de una pseudodistancia $d$ . El conjunto $F$ de imágenes inversas por d de intervalos de la forma [0,a), es un sistema fundamental de entourages para una estructura uniforme sobre $X$

F:=\{d^{-1}([0,a))\mid a\in \mathbb {R} _{+}\}

, siendo

d^{-1}([0,a))=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<a\}

Se dice que dicha estructura está definida o determinada por la pseudodistancia $d$ .

Igualmente, una familia $(d_{i})_{i\in I}$ de pseudodistancias en un conjunto $X$ , determina una estructura uniforme que es el supremo de las estructuras definidas por cada una de ellas. Es decir, la intersección de todas las estructuras uniformes definidas en dicho conjunto $X$ que contengan todas las estructuras individuales.

Definición de una pseudodistancia a partir de una estructura uniforme

Sea $X$ un espacio uniforme en el que se puede identificar un sistema fundamental de entourages $(N_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ numerable. Se puede demostrar la existencia de otro sistema fundamental de entourages simétricos $(S_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ cumpliendo $S_{0}\subseteq N_{0}$ y $S_{k+1}^{3}\subseteq S_{k}\cap N_{k}$ , donde $S^{3}=$ S∘S∘S representa un encadenamiento de entourages.

Para construir una pseudodistancia, partimos de la función $g\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ , definida por

g(x,y):={\begin{cases}1\;{\mbox{si}}\;(x,y)\not \in S_{0}\\\inf\{2^{-k-1}|(x,y)\in S_{k}\}\;{\rm {encasocontrario}}\end{cases}}

Esta función es simétrica y se anula en la diagonal, pero no cumple necesariamente la desigualdad triangular. Para obtener el resultado deseado se utiliza el siguiente procedimiento.

Sea C el conjunto de todas las secuencias finitas de puntos de $X$ que comienzan en $x$ y terminan en $y$ . Entonces podemos definir una pseudodistancia en $X$ mediante

d(x,y):=\inf \left\{\sum _{j=0}^{n-1}g(z_{j},z_{j+1})\mid (z_{j})_{j=0,\dotsc ,n}\in C\right\}

.

La estructura uniforme determinada por esta pseudodistancia es la estructura uniforme original.

Este resultado puede generalizarse. Dada cualquier estructura uniforme en un conjunto $X$ , es posible identificar una familia de pseudométricas que, a su vez, determine la estructura uniforme de partida.^[3]

Identificación métrica

Se denomina identificación métrica a la relación de equivalencia definida por $x\sim y$ si $d(x,y)=0$ .

Sean

X^{*}=X/{\sim }

d^{*}([x],[y])=d(x,y)

Entonces $d^{*}$ es una métrica en $X^{*}$ y $(X^{*},d^{*})$ un espacio métrico bien definido.^[4]

La identificación métrica preserva las topologías inducidas. Es decir, un subconjunto $A\subset X$ es abierto (o cerrado) en $(X,d)$ si y solo si $\pi (A)=[A]$ es abierto (o cerrado) en $(X^{*},d^{*})$ y A es saturado, siendo $\pi \colon X\to X^{*}$ la proyección canónica que hace corresponder a cada punto de $X$ la clase de equivalencia que lo contiene.

Notas

↑ Burago, Dimitri; Burago, Yu D; Ivanof, Sergei (2001). A Course in Metric Geometry (en inglés). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.
↑ Pseudometric topology en PlanetMath.
↑ Bourbaki, Nicolas (1974). «IX». Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés). Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8.
↑ Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology (en inglés). New York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012.

Referencias

von Querenburg, Boto (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemán). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9.

Arkhangel'skii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (en inglés). Springer. ISBN 3-540-18178-4.

Steen, Lynn Arthur; Seebach, Arthur (1995) [1970]. Counterexamples in Topology (en inglés) (new edition edición). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.

Example of pseudometric space en PlanetMath.

Datos: Q1397059

[1] Burago, Dimitri; Burago, Yu D; Ivanof, Sergei (2001). A Course in Metric Geometry (en inglés). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.

[2] Pseudometric topology en PlanetMath.

[3] Bourbaki, Nicolas (1974). «IX». Éléments de mathématique. Topologie générale (en francés). Hermann. ISBN 978-3-540-34399-8.

[4] Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology (en inglés). New York, NY: Springer. p. 27. ISBN 0-387-97986-7. Consultado el 10 de septiembre de 2012.

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