Grupo alternante

En teoría de grupos, el grupo alternante, también conocido como grupo alternado o subgrupo alternado, denotado usualmente $A_{n}$, es el subgrupo del grupo simétrico $S_{n}$ del conjunto $\{1,2,\dots ,n\}$ formado por las permutaciones pares.​ Simbólicamente:

Grupo alternate

$A_{n}=\{\sigma \in S_{n}:\sigma {\text{ es par}}\}=\ker(\varepsilon ),$

siendo

$\varepsilon :S_{n}\rightarrow \{-1,1\}$

la aplicación signo de una permutación.

Propiedades

$A_{n}$ es un subgrupo normal de $S_{n}$. De hecho, es su subgrupo conmutador, de índice 2, y por ello tiene $n!/2$ elementos.

$A_{n}$ es no abeliano para $n\geq 4$.

El grupo $A_{4}$ tiene a $V$ (el grupo de Klein) como subgrupo propio normal. Para $n\geq 5$, $A_{n}$ es un grupo simple.

Véase también

• Subgrupo.
• Grupo cociente.
• Combinatoria.

Referencias

• Datos: Q438814