En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido de un grupo es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento y cada , el elemento está en . Se denota .

Definición

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Un subgrupo   de un grupo   se llama subgrupo normal del grupo   si las clases laterales por la izquierda y por la derecha definidas por cualquier   coinciden, es decir,  .

Definiciones equivalentes

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Sea   un grupo y   un subgrupo. Equivalen:

  1.  .
  2.  .
  3.  .
  4.  .
Demostración

1. 2.

Como  , entonces  . Por tanto,  .

2. 3.

Es claro.

3. 4.

Sea  . Entonces,  . Por tanto,   y se tiene la igualdad.

4. 1.

Sea   y  .

 .

Además, se tiene que  .

Por tanto,  .

Propiedades

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  •   y   son siempre subgrupos normales de  . Si éstos son los únicos subgrupos normales de  , se dice que   es simple.
  • Los subgrupos normales de cualquier grupo   forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son   y  , el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
  • Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
  • Si   es de índice 2 ( ) entonces   es normal en  .
  • El centro de un grupo es normal en el grupo.

Grupo cociente

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Sea   un grupo y  . Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de   en  , y lo denotaremos  .

Podemos definir en   la operación   (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

Llamamos grupo cociente de   sobre   al grupo  , formado por el conjunto de clases laterales de   en   y operación definida como  .

  • La proyección canónica   es un homomorfismo de grupos.

Grupos normales y homomorfismos

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  • Sean   y   grupos y sea   un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de   es normal en  :  . De hecho, un subgrupo   es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos   tal que  .

Referencias

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Véase también

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