Subgrupo conmutador
En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
![{\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fab1df643e968bbe6c84336d0a380d5133c1b0f)
denominado conmutador de a con b.
Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por o . Esto significa que si entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,
![{\displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{\displaystyle x\in [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30cb8b21b5a0be714622e178fcecdf6a2a2aba4)
- .
Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si verifica que es abeliano entonces .
![{\displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
![{\displaystyle [G,G]\subseteq H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4262d3791502f4e98ee52d7bf7d7e2e2a305d5)
La construcción recibe el nombre de abelianización de G.
Proposiciones
editarBaumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:
- El inverso de un conmutador es un conmutador.
- G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
- G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.
Serie normal y serie derivada
editarDado un grupo , La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:
![{\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ef2cb916cce0b357a95ee734be242ea1a3d737)
Los grupos se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.
se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son .
![{\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b52513a2ec52c658b2630a3209588d71cd440e)
Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.
Véase también
editarBibliografía
editar- Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858.
- Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X.
Datos: Q522216
