En teoría de grupos, el subgrupo generado por un subconjunto S de un grupo G es el subgrupo más pequeño que contiene a todos los elementos de S.

Definición

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La intersección de una colección arbitraria de subgrupos es nuevamente un subgrupo. Por ello, dado un subconjunto S del grupo G, podemos considerar la colección de todos los subgrupos de G que contienen a S. La intersección de tales subgrupos será entonces un nuevo subgrupo que, por construcción será el subgrupo más pequeño que contenga al subconjunto S.


Si   es un subconjunto del grupo  , el subgrupo definido por

 

es el menor subgrupo de   que posee la propiedad de contener al subconjunto  .

Al subgrupo   se le denomina el subgrupo generado por  .

Estructura

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Si S es un subconjunto de G, una palabra en S es una expresión de la forma

 

para alguna m no negativa y cada   entera.

Es posible entonces definir el subgrupo generador por   en términos de palabras.

Si S es un subconjunto del grupo G entonces el subgrupo generado por S es el conjunto de todas las palabras en S cuando S no es vacío, y es igual al subgrupo trivial {e} cuando S es vacío.

Bibliografía

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  • Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858.