Subgrupo generado

En teoría de grupos, el subgrupo generado por un subconjunto S de un grupo G es el subgrupo más pequeño que contiene a todos los elementos de S.

Definición

La intersección de una colección arbitraria de subgrupos es nuevamente un subgrupo. Por ello, dado un subconjunto S del grupo G, podemos considerar la colección de todos los subgrupos de G que contienen a S. La intersección de tales subgrupos será entonces un nuevo subgrupo que, por construcción será el subgrupo más pequeño que contenga al subconjunto S.

Si $S$ es un subconjunto del grupo $G$, el subgrupo definido por $\langle S\rangle =\bigcap _{S\subseteq H\leq G}H$ es el menor subgrupo de $G$ que posee la propiedad de contener al subconjunto $S$. Al subgrupo $\langle S\rangle$ se le denomina el subgrupo generado por $S$.

Estructura

Si S es un subconjunto de G, una palabra en S es una expresión de la forma

$\omega =s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{m}^{a_{m}}$

para alguna m no negativa y cada $a_{k}$ entera.

Es posible entonces definir el subgrupo generador por $S$ en términos de palabras.

Si S es un subconjunto del grupo G entonces el subgrupo generado por S es el conjunto de todas las palabras en S cuando S no es vacío, y es igual al subgrupo trivial {e} cuando S es vacío.

Bibliografía

• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. 

• Datos: Q9080203