Índice (teoría de grupos)

concepto en álgebra abstracta

En álgebra abstracta (específicamente en teoría de grupos), el índice de un subgrupo H en un grupo G se refiere al número de clases laterales en que un subgrupo H particiona a G.

Introducción

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[1]​ Cada subgrupo H de G permite definir dos relaciones de equivalencia sobre G, denotadas por   (equivalencia por la izquierda) y   (equivalencia por la derecha). Se definen como:

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Las llamadas clases laterales son las clases de equivalencia definidas por estas relaciones. Se denotan como   en el caso de  , o bien como   para  . Las respectivas particiones de G son denotadas por G:H y H:G. Es decir:

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Definición

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Sea G un grupo y sea   un subgrupo de G. Al cardinal

 

se le denomina índice de H en G. Otras notaciones frecuentes para   son   o también  .

En el caso de que G sea finito, tenemos la identidad:

 

donde se ha utilizado la notación clásica, |G|, para el orden de un grupo.

Referencias

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  1. Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalidades. Teorema de Lagrange -- IV. Índice de un subgrupo». En Cuadernos de la UNED, ed. Teoría elemental de grupos. España: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.