Usuario:Juan Marquez/Files-3

Klein-Surface Bundles

Estos son los grupos fundamentales de dos 3-variedades:

$\scriptstyle \pi _{1}(K\times _{y}S^{1})=\langle a,b,x|a^{2}b^{2}=1,xax^{-1}=a^{-1},xbx^{-1}=b^{-1}\rangle$

$\scriptstyle \pi _{1}(NnII,2|0)=\langle v,w,h|v^{2}w^{2}=1,vhv^{-1}=h^{-1},whw^{-1}=h^{-1}\rangle$,

donde $\scriptstyle K\times _{y}S^{1}$ es el $\scriptstyle K$-fibrado sobre el círculo y monodromía el y-homeomorfismo y $\scriptstyle (NnII,2|0)\,$ una 3-variedad fibrado de Seifert.

Per Orlik demostró que la asignación $\scriptstyle \pi _{1}(NnII,2|0)\to \pi _{1}(K\times _{y}S^{1})$ dada por

$\scriptstyle v\mapsto bx^{-1},\quad w\mapsto x,\quad h\mapsto (ab)^{-1}\,$

define un isomorfismo de grupos y que induce un homeomorfismo entre $\scriptstyle (NnII,2|0)\,$ y $\scriptstyle K\times _{y}S^{1}$, puesto que $\scriptstyle (NnII,2|0)\,$ es irreducible y $\scriptstyle K\times _{y}S^{1}$ es un espacio de Eilenberg-McLane.