3-variedad

En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia variedades topológicas de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{3}$ .

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a qué categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una estrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias sean menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a la descomposición mediante cubos con asas o también llamadas descomposiciones de Heegaard.

Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera $S^{3}\,$ . Otro más es el espacio proyectivo $\mathbb {R} P^{3}$ . Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

S^{2}\times S^{1}

\mathbb {R} P^{2}\times S^{1}

T\times S^{1}

K\times S^{1}

O bien fibrados de la forma $S^{1}\subset E\to \Sigma$ , donde $\Sigma$ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También tenemos los fibrados de las forma $F\subset E\to S^{1}$ , siendo $F$ una superficie cerrada. Estos son fuente de ejemplos muy importantes.

Ejemplos con frontera

Hay 3-variedades con frontera, como la 3-bola unitaria $D^{3}\,$ o el toro sólido $D^{2}\times S^{1}$ , cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. La botella de Klein sólida es otro ejemplo de tres variedad con frontera que es una superficie una botella de Klein.

También están todos los fibrados de la forma

I\subset E\to F

(fibrado I)

donde $I$ es un intervalo y $F$ una superficie. Ejemplo es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$ , que es el fibrado $I$ que construye pegando dos toros sólidos identificando dos aros en la frontera, uno en cada uno de ellos. Cada uno de estos aros es la vecindad regular de una curva $(2,1)\,$ dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera, $\partial (K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O})$ , es un toro $S^{1}\times S^{1}$ . Además $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$ corresponde a $M{\ddot {o}}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}$ .

Otro ejemplo es el producto cartesiano $M{\ddot {o}}\times S^{1}$ de la banda de Möbius con el círculo y el cual es $T{\stackrel {\sim }{\times }}I$ y es diferente a $K{\stackrel {\sim }{\times }}I^{O}$ .

También la frontera $\partial (M{\ddot {o}}\times S^{1})$ es $(\partial M{\ddot {o}})\times S^{1}$ , lo cual, también es un toro $S^{1}\times S^{1}$ .

Algunas clases de 3-variedades

Complementos de nudos y enlaces (knots and links)
Fibrado de Seifert clásico fibrado de Seifert. Fibrado de Scott
Espacios lentes (lens spaces)
Fibrados por superficie (Surface Bundles) sobre el círculo
Variedades de Haken
Graph manifolds
Esferas homológicas.

Resultados Fundamentales

Teorema de Descomposición Prima[1]
Teorema de Moise
Descomposición de JSJ[2]
Teoremas del Lazo y la Esfera[3] (que generalizan el Lema de Dehn).
Teorema de Geometrización para variedades de Haken
Teorema de Lickorish-Wallace

Problemas famosos

Conjetura de Poincaré
Geometrización de Thurston [4]
Conjetura de la fibración virtual.
Conjetura de ser virtualmente Haken.

Referencias

J. Hempel. 3-manifolds. Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ. Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
D. Rolfsen Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish Perish, Inc. 1976.
A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds. En línea disponible en [5]

Datos: Q526901
Multimedia: 3-manifolds / Q526901