Surface Bundle

Surface bundle es un fibrado por superficie, es decir la fibra es una 2-variedad y sobre alguna base -en símbolos:

$F\subset E\to B$

donde E el fibrado (o espacio total), F es la fibra (espacio fibra) y B la base del fibrado (espacio base del fibrado), siendo casos importantes:

1. Fibrar sobre el círculo $S^{1}$ y es por lo tanto un tipo de 3-variedad. Una castellanización de este nombre puede ser F-fibrado sobre B, o bien fibrado por superficies sobre B.
2. Fibrar sobre otra superficie. Es este caso reciben el nombre de surface bundle over a surface y son una clase de 4-variedades.

No son importantes los fibrados-por-superficie que tengan una base que sea contraíble desde el punto de vista homotópico, pues en este caso, el fibrado es trivial, es decir, homeomorfo a $F\times B$

Cuando la base es un círculo el espacio es un surface bundle over the circle. Estos fibrados están clasificados por clases de isotopía de auto-homeomorfismos; $F{\stackrel {[f]}{\to }}F$.

Construcción

Sea F una superficie cerrada. Si tenemos el producto cartesiano $\scriptstyle F\times I$, entonces vamos a utilizar un homeomorfismo $\scriptstyle \phi \colon F\to F$ para identificar las tapas $\scriptstyle F\times \{0\}$ con $\scriptstyle F\times \{1\}$ usando la fórmula

$(x,0)$$\sim$$(\phi (x),1)$

así el nuevo espacio $E_{\phi }={\frac {F\times I}{\sim }}$ es el F-fibrado sobre $S^{1}$ determinado por $\phi$

Si $\phi$ es el mapa identidad de F, el fibrado es $F\times S^{1}$.

Cuando $\phi$ no está en la clase de isotopía de la identidad el fibrado $E_{\phi }=F\times _{\phi }S^{1}$ se dice twisted surface bundle.

Para la 2-esfera hay dos $S^{2}\times S^{1}$ y $S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}$.

Se distingue entre fibrados que utilizan superficies cerradas (compactas y sin frontera) para obtener fibrados sin frontera. Además usando la clasificación de las superficies obtenemos

• $O_{g}\subset E\to B$
• $N_{k}\subset E\to B$

sobre alguna base B de dimensión uno.

Como los fibrados sobre la recta numérica $\mathbb {R} ^{1}$ (o intervalos conexos) son triviales (i.e. solo obtenemos $E=F\times \mathbb {R} ^{1}$), por eso hay más riqueza al estudiar fibrados sobre el círculo, $S^{1}$.

• Datos: Q7645952