Triángulo rectángulo especial

Un triángulo rectángulo especial es un tipo de triángulo rectángulo con alguna característica de regularidad que hace que los cálculos relativos al triángulo sean más fáciles, o para los cuales existen fórmulas simples. Por ejemplo, un triángulo rectángulo puede tener ángulos que forman relaciones simples, como 45° – 45° – 90°. Esto se llama un triángulo rectángulo basado en ángulos. Un triángulo rectángulo basado en lados es uno en el que las longitudes de los lados forman relaciones de números naturales, como por ejemplo 3 : 4 : 5, o de otros números especiales, como el número áureo. Conocer las relaciones de los ángulos o las proporciones de los lados de estos triángulos rectos especiales permite calcular rápidamente varias longitudes en problemas geométricos sin recurrir a métodos más avanzados.

Basado en ángulos

Los triángulos especiales basados en ángulos inscritos en un círculo unitario son útiles para visualizar y recordar las funciones trigonométricas de los múltiplos de 30 y 45 grados

Los triángulos rectos especiales basados en ángulos se especifican por las relaciones de los ángulos que componen el triángulo. Los ángulos de estos triángulos son tales que el ángulo más grande (recto), que es de 90 grados o Π/2 radianes, es igual a la suma de los otros dos ángulos.

Las longitudes de los lados generalmente se deducen de la base de la circunferencia goniométrica u por otros métodos de geometría. Este enfoque puede usarse para calcular rápidamente los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°.

Los triángulos especiales se usan para ayudar a calcular las funciones trigonométricas comunes, como se muestra a continuación:

Grados sexagesimales	Radianes	Gonios	Vueltas	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
0°	0	0^g	0	√0/2 = 0	√4/2 = 1	0	indefinido
30°	Π/6	33 1/3^g	1/12	√1/2 = 1/2	√3/2	1/√3	√3
45°	Π/4	50^g	1/8	√2/2 = 1/√2	√2/2 = 1/√2	1	1
60°	Π/3	66 2/3^g	1/6	√3/2	√1/2 = 1/2	√3	1/√3
90°	Π/2	100^g	1/4	√4/2 = 1	√0/2 = 0	indefinido	0

45°–45°–90°

30°–60°–90°

El triángulo 45° –45° –90°, el triángulo 30° –60° –90° y el triángulo equilátero/equiangular (60° –60° –60°) son los tres triángulos de Möbius en el plano, lo que significa que teselan el plano mediante reflexiones respecto a sus lados (véase grupo triangular).

Triángulo 45°–45°–90°

Longitudes de los lados de un triángulo 45°–45°–90°

En la geometría plana, la construcción de la diagonal de un cuadrado da como resultado un triángulo cuyos tres ángulos están en la relación 1 : 1 : 2, sumando 180° o Π radianes. Por lo tanto, los ángulos miden respectivamente 45° (Π/4), 45° (Π/4) y 90° (Π/2). Los lados de este triángulo están en la relación 1 : 1 : √2, lo que se deduce de forma inmediata del teorema de Pitágoras.

De todos los triángulos rectángulos, el triángulo de 45°–45°–90° grados tiene la relación más pequeña entre la hipotenusa y la suma de los dos catetos, es decir, √2/2.^[1]^{: p.282, p.358} y la mayor proporción de la altura desde la hipotenusa con respecto a la suma de los dos catetos, a saber √2/4.^[1]^: p.282

Los triángulos con estos ángulos son los únicos triángulos rectángulos posibles que también son triángulos isósceles en geometría euclidiana. Sin embargo, en geometría esférica y en geometría hiperbólica, hay infinitas formas diferentes de triángulos isósceles rectángulos.

Triángulo 30°–60°–90°

Longitudes de los lados de un triángulo 30°–60°–90°

Este es un triángulo cuyos tres ángulos están en la relación 1 : 2 : 3; y miden respectivamente 30° (Π/6), 60° (Π/3) y 90° (Π/2). Los lados están en la relación 1 : √3 : 2.

La prueba de este hecho es clara utilizando trigonometría. La demostración geométrica es:

Dibújese un triángulo equilátero ABC con longitud de lado 2 y con el punto D como el punto medio del segmento BC. Dibújese ahora la altura desde A hasta D. Entonces ABD es un triángulo de ángulos 30°–60°–90°, con hipotenusa de longitud 2, y base BD de longitud 1.

El hecho de que el tramo restante AD tiene una longitud √3 se deduce inmediatamente del teorema de Pitágoras.

El triángulo 30°–60°–90° es el único triángulo rectángulo cuyos ángulos se encuentran en una progresión aritmética. La prueba de este hecho es simple y se sigue del hecho de que si α, α + δ, α + 2δ son los ángulos de la progresión, entonces la suma de los ángulos 3α + 3δ = 180°. Después de dividir por 3, el ángulo α + δ debe ser 60°. El ángulo recto es de 90°, dejando que el ángulo restante sea de 30°.

Lados enteros

Los triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes enteras, con los lados conocidos conjuntamente como ternas pitagóricass, poseen ángulos que no pueden ser todos un número racional de grados.^[2] (Esto se deduce del teorema de Niven). Son más útiles porque pueden ser fácilmente recordados y cualquier múltiplo de Los lados produce la misma relación. Usando la fórmula de Euclides para generar ternas pitagóricas, los lados deben estar en la proporción

m² − n² : 2mn : m² + n²

donde m y n son cualquier número entero positivo tal que m>n.

Ternas pitagóricas comunes

Artículo principal: Terna pitagórica

Hay varias ternas pitagóricas conocidas, incluyendo aquellas con lados en las proporciones:

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

Los triángulos de lados 3 : 4 : 5 son los únicos triángulos rectángulos con lados en progresión aritmética. Los triángulos basados en las ternas pitagóricas son heronianos, lo que significa que tienen área entera así como lados enteros.

El posible uso del triángulo 3 : 4 : 5 en el Antiguo Egipto, con la supuesta utilización de una cuerda anudada para trazar tal triángulo, y la pregunta de si el teorema de Pitágoras era conocido en ese momento, ha sido muy debatido.^[3] Esta hipótesis fue conjeturada por primera vez por el historiador Moritz Cantor en 1882.^[3] Es sabido que los ángulos rectos se trazaban con precisión en el Antiguo Egipto; que sus topógrafos usaban cuerdas para medir;^[3] que Plutarco registró en su obra Isis y Osiris (alrededor del 100 DC) que los egipcios reverenciaban el triángulo 3 : 4 : 5;^[3] y que el Papiro de Berlín 6619, datado en el Imperio Medio de Egipto (antes de 1700 aC), incluye en su texto que "el área de un cuadrado de 100 es igual a la de dos cuadrados más pequeños. El lado de uno es ½ + ¼ del lado del otro".^[4] El historiador de las matemáticas Roger L. Cooke observa que "es difícil imaginar que alguien esté interesado en tales relaciones sin conocer el teorema de Pitágoras".^[3] En contra de esto, Cooke observa que ningún texto egipcio antes del 300 a. C. en realidad mencione el uso del teorema para hallar la longitud de los lados de un triángulo, y que hay formas más simples de construir un ángulo rectángulo. Cooke concluye que la conjetura de Cantor sigue siendo incierta: intuye que los antiguos egipcios probablemente conocían el teorema de Pitágoras, pero que "no hay pruebas de que lo usaran para construir ángulos rectos".^[3]

Las siguientes son todas las relaciones de ternas pitagóricas expresadas en su forma más reducida (continuando las cinco primeras que figuraban en la lista anterior), que recoge todos aquellos cuyos catetos son menores que 256:

11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

24:	143	:145
28:	45	:53
28:	195	:197
32:	255	:257
33:	56	:65
36:	77	:85
39:	80	:89
44:	117	:125
48:	55	:73
51:	140	:149

52:	165	:173
57:	176	:185
60:	91	:109
60:	221	:229
65:	72	:97
84:	187	:205
85:	132	:157
88:	105	:137
95:	168	:193
96:	247	:265

104:	153	:185
105:	208	:233
115:	252	:277
119:	120	:169
120:	209	:241
133:	156	:205
140:	171	:221
160:	231	:281
161:	240	:289
204:	253	:325
207:	224	:305

Ternas pitagóricas casi isósceles

Los triángulos isósceles en ángulo recto no pueden tener lados con valores enteros, porque la proporción de la hipotenusa a cualquier otro lado es √2, pero √2 no puede expresarse como una relación entre dos enteros. Sin embargo, existen infinitos triángulos rectos casi isósceles, triángulos rectángulos con lados enteros para los que las longitudes de los catetos difieren en uno.^[5]^[6] Tales triángulos rectángulos casi isósceles se pueden obtener recursivamente,

a₀ = 1, b₀ = 2

a_n = 2b_n−1 + a_n−1

b_n = 2a_n + b_n−1

a_n es la longitud de la hipotenusa, n = 1, 2, 3, .... De forma equivalente,

({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}

donde {x, y} son las soluciones para la ecuación de Pell x² − 2y² = −1, con la hipotenusa y,, tomando los valores de los términos impares de los números de Pell 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378 ... (sucesión A000129 en OEIS). Los triples pitagóricos más pequeños resultantes son:^[7]

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4,059 :	4,060	: 5,741
23,660 :	23,661	: 33,461
137,903 :	137,904	: 195,025
803,760 :	803,761	: 1,136,689
4,684,659 :	4,684,660	: 6,625,109

Alternativamente, los mismos triángulos pueden derivarse de los números cuadrados triangulares.^[8]

Progresiones aritméticas y geométricas

Un triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo formado por tres cuadrados con áreas en progresión geométrica de acuerdo con el número áureo

Artículo principal: Triángulo de Kepler

El triángulo de Kepler es un triángulo rectángulo cuyos lados están en progresión geométrica. Si los lados se forman a partir de la progresión geométrica a, ar, ar², entonces su relación común r viene dada por r = √φ donde φ es la proporción áurea. Sus lados están por lo tanto en la relación 1 : √φ : φ. En consecuencia, la forma del triángulo de Kepler se determina únicamente (hasta un factor de escala) por el requisito de que sus lados estén en una progresión geométrica.

El triángulo 3–4–5 es el único triángulo rectángulo (sin considerar la relación de escala) cuyos lados están en una progresión aritmética.^[9]

Lados de polígonos regulares

Los lados de un pentágono, hexágono y decágono, inscritos en círculos congruentes, forman un triángulo rectángulo

Sea a = 2 sin Π/10 = −1 + √5/2 = 1/φ la longitud del lado de un decágono regular inscrito en la circunferencia de radio unidad, donde Φ es el número áureo. Por otro lado, sea b = 2 sin Π/6 = 1 la longitud del lado de un hexágono regular en la circunferencia unidad, y sea c = 2 sin Π/5 = ${\sqrt {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$ la longitud del lado de un pentágono regular en la circunferencia unidad. Entonces, a² + b² = c², por lo que estas tres longitudes forman los lados de un triángulo rectángulo.^[10] El mismo triángulo forma la mitad de un rectángulo dorado. También se puede encontrar que dentro de un icosaedro regular de longitud de lado c, el segmento de línea más corto desde cualquier vértice V hasta el plano de sus cinco vértices vecinos tiene la longitud a, y que los puntos finales de este segmento junto con cualquiera de los vértices vecinos de V forman a su vez los vértices de un triángulo rectángulo con los lados a, b y c.^[11]

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012.
↑ Weisstein, Eric W. «Rational Triangle». MathWorld.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Cooke, Roger L. (2011). The History of Mathematics: A Brief Course (2nd edición). John Wiley & Sons. pp. 237-238. ISBN 978-1-118-03024-0.
↑ Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. p. 161.
↑ Forget, T. W.; Larkin, T. A. (1968), «Pythagorean triads of the form x, x + 1, z described by recurrence sequences», Fibonacci Quarterly 6 (3): 94-104 ..
↑ Chen, C. C.; Peng, T. A. (1995), «Almost-isosceles right-angled triangles», The Australasian Journal of Combinatorics 11: 263-267, MR 1327342 ..
↑ (sucesión A001652 en OEIS)
↑ Nyblom, M. A. (1998), «A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles», The Fibonacci Quarterly 36 (4): 319-322, MR 1640364 ..
↑ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (1997), «Arithmetic triangles», Mathematics Magazine 70 (2): 105-115, MR 1448883, doi:10.2307/2691431 ..
↑ Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 10.
↑ nLab: pentagon decagon hexagon identity.

Enlaces externos

3 : 4 : 5 triangle
30–60–90 triangle
45–45–90 triangle con animaciones interactivas

Datos: Q3222962
Multimedia: Special right triangles / Q3222962

[PL-1] Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012.

[2] Weisstein, Eric W. «Rational Triangle». MathWorld.

[Cooke2011-3] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Cooke, Roger L. (2011). The History of Mathematics: A Brief Course (2nd edición). John Wiley & Sons. pp. 237-238. ISBN 978-1-118-03024-0.

[4] Gillings, Richard J. (1982). Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover. p. 161.

[5] Forget, T. W.; Larkin, T. A. (1968), «Pythagorean triads of the form x, x + 1, z described by recurrence sequences», Fibonacci Quarterly 6 (3): 94-104 ..

[6] Chen, C. C.; Peng, T. A. (1995), «Almost-isosceles right-angled triangles», The Australasian Journal of Combinatorics 11: 263-267, MR 1327342 ..

[7] (sucesión A001652 en OEIS)

[8] Nyblom, M. A. (1998), «A note on the set of almost-isosceles right-angled triangles», The Fibonacci Quarterly 36 (4): 319-322, MR 1640364 ..

[9] Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, E. R. (1997), «Arithmetic triangles», Mathematics Magazine 70 (2): 105-115, MR 1448883, doi:10.2307/2691431 ..

[10] Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 10.

[11] Lab: pentagon decagon hexagon identity.

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