Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por $a_{n}$ al término que ocupa la posición $n$ de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero ($a_{1}$) y de la razón ($r$) mediante la siguiente fórmula llamada término general:

$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}\,$

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón $r=3$
• Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón $r=2$.
• La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón $/r=-2$. Esta progresión es también una sucesión alternada.
• Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanói.​

Definición recursiva

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica ($b_{n}$) definida por las condiciones

$b_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &p\\si&n>1&\longrightarrow &b_{n-1}\cdot q\end{array}}\right.$

llamada ecuación recursiva de orden 1​ ( $q\neq 0$), $n=1,2,...$ ($q$ es la razón de la progresión geométrica)​

Monotonía

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior ($a_{n}\geq a_{n-1}$), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior ($a_{n}\leq a_{n-1}$), constante cuando todos los términos son iguales ($a_{n}=a_{n-1}$) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando $r<0$).​

Monotonía en función del primer término, $a_{1}$, y de la razón, $r$:​

$a_{1}>0$	$r>1$	creciente
	$0<r<1$	decreciente
$a_{1}<0$	$r>1$	decreciente
	$0<r<1$	creciente
	$r=1$	constante
	$r<0$	alternada

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

Se denota por $S_{n}$ a la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$

Se puede calcular esta suma a partir del primer término $a_{1}$ y de la razón $r$ mediante la fórmula

$S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

Sea $S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}$ Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión $r$. $r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})$ $r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}$ puesto que $r\cdot a_{i}=a_{i+1}$ $r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}$ Si se procede a restar de esta igualdad la primera: $r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}$ ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente. Despejando $S_{n}$: $S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$ De esta manera se obtiene la suma de los $n$ términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión $a_{n}$ como: $S_{n}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$ que expresa la suma de $n$ términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios $a_{m}$y $a_{n}$(ambos incluidos):

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}$

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad $|r|<1$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si $|r|<1$, $r^{\infty }$ tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :

$S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}\cdot {\cfrac {0-1}{r-1}}$

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

$S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}$, $|r|<1$

Caso notable

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica

El producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}$ (si $a_{1},r>0$).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón $r$ (si $a_{1},r>0$), están en progresión aritmética de diferencia $\log r$, se tiene:

$\log(\prod _{i=1}^{n}a_{i})=\ \sum _{i=1}^{n}\log a_{i}=\ {\frac {(\log a_{1}+\log a_{n})n}{2}}=\ \log \left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}$ ,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

Véase también

• Progresión aritmética
• Serie geométrica

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Sum of Geometric Progression Calculator

• Datos: Q173523