Integración por sustitución trigonométrica

método para evaluar integrales que utiliza funciones trigonométricas
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En matemáticas, la sustitución trigonométrica consiste en la sustitución de determinadas expresiones mediante el uso de funciones trigonométricas. En cálculo, la sustitución trigonométrica es una técnica que permite evaluar integrales, puesto que se pueden utilizar identidades trigonométricas para simplificar ciertas integrales que contienen expresiones radicales.[1][2]

Trigonometría
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Temas relacionados
Temas ·Historia ·Usos·Trigonometría generalizada

Caso I: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable   y se utiliza la identidad trigonométrica  .

 
Construcción geométrica para Caso  

Integral Indefinida

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Ejemplo I

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Para calcular la integral

 

se puede realizar el cambio de variable

 

entonces

 

Los pasos anteriores requirieron que   y  .

Es posible escoger   para que sea la raíz principal de   e imponer la restricción   utilizando la función arco seno.

Para una integral definida, se debe averiguar cómo cambian los límites de la integración. Por ejemplo, cuando   va de   a  , entonces   va de   a  , y   va de   a  . En consecuencia,

 

Se necesita elegir los límites con cuidado. Debido a que la integración anterior requiere que  ,   solo puede pasar de   a  . Si se ignora esta restricción, se podría haber elegido   para pasar de   a  , lo que habría resultado en un valor real negativo.

Alternativamente, se deben evaluar completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da

 

como antes.

Ejemplo II

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La integral

 

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

 

donde   de modo que   y

 

porque   y  

Luego

 

Integral Definida

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Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se realiza la sustitución y estos están determinados por

 

con valores para   en el rango

 

Ejemplo I

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Considérese la integral definida

 

que puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

 

y en este caso, los límites de integración estarán determinados por

 

Tenemos que

si   entonces  

y si   entonces  

entonces

 

Por otro lado, si aplicamos directamente los límites de integración para la fórmula de la antiderivada obtenemos

 

Caso II: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable   y se utiliza la identidad trigonométrica  .

Integral Indefinida

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Construcción geométrica para Caso  

Ejemplo I

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En la integral

 

hacemos el cambio de variable

 

de modo que la integral se convierte en

 

para  .

Ejemplo II

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La integral

 

puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

 

donde   de modo que   y

 

por lo que   y  .

Entonces

 

La integral de la secante cúbica puede ser evaluada utilizando integración por partes, dando como resultado

 

Integral Definida

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Para una integral definida, los límites de integración cambian una vez que se hace la sustitución y estos están determinados por

 

con valores para   en el rango

 

Ejemplo I

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Considérese la integral definida

 

esta puede ser evaluada haciendo el cambio de variable

 

con los límites de integración determinados por  .

Tenemos que

si   entonces  

y si   entonces  

de modo que

 

Caso III: Integrando conteniendo

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Se hace el cambio de variable   y se utiliza la identidad trigonométrica  .

Integral Indefinida

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Ejemplo I

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Construcción geométrica para Caso  

La integral

 

también puede ser evaluada utilizando fracciones parciales en lugar de utilizar sustitución trigonométrica. Sin embargo, la integral

 

no. En este caso, una sustitución apropiada es

 

donde   de modo que   y

 

suponiendo que  , de modo que   y  .

Entonces,

 

Uno puede evaluar la integral de la función secante multiplicando tanto el numerador como el denominador por   y evaluar la integral de la secante cúbica integrando por partes.[3]​ Como resultado,

 

Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas

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La sustitución de una nueva variable por una función trigonométrica en ocasiones puede ser usada para facilitar el cálculo de la integral, dejando el integrando sin funciones trigonométricas.

 

La última sustitución es conocida como la Sustitución de Weierstrass, que hace uso de las fórmulas de la tangente del ángulo mitad.

Ejemplo

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Considérese la integral

 

Si utilizamos la sustitución de Weierstrass entonces

 

Sustitución hiperbólica

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También se pueden utilizar sustituciones mediante funciones hiperbólicas para simplificar determinadas integrales.[4]

Por ejemplo, en la integral

 

se realiza la sustitución  ,  

Entonces, usando las identidades   y  

 


Véase también

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Referencias

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  1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th edición). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th edición). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2. 
  3. Stewart, James (2012). «Section 7.2: Trigonometric Integrals». Calculus - Early Transcendentals. United States: Cengage Learning. pp. 475-6. ISBN 978-0-538-49790-9. 
  4. Boyadzhiev, Khristo N. «Hyperbolic Substitutions for Integrals». Archivado desde el original el 26 de febrero de 2020. Consultado el 4 de marzo de 2013.