Derivación de funciones trigonométricas

Función	Derivada
$\operatorname {sen}(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\operatorname {sen}(x)$
$\tan(x)$	$\sec ^{2}(x)$
$\cot(x)$	$-\csc ^{2}(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\operatorname {arcsen} (x)$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	${\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arctan(x)$	${\frac {1}{x^{2}+1}}$

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

f'(x)=\cos(x)

Derivada de la función coseno

Dada la función $f(x)=\cos(x)=\operatorname {sen} \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)$ es inmediato que:

f'(x)=-\operatorname {sen}(x)

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, $f(x)$ ,

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

y $h(x)\neq 0$ , entonces la regla dice que la derivada de $g(x)/h(x)$ es igual a:

{\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}

A partir de la identidad trigonométrica

\tan(x)={\frac {\operatorname {sen}(x)}{\cos(x)}}

haciendo:

g(x)=\operatorname {sen}(x)

g'(x)=\cos(x)

h(x)=\cos(x)

h'(x)=-\operatorname {sen}(x)

sustituyendo resulta

f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}

operando

f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}

y aplicando las identidades trigonométricas

\cos ^{2}(x)+\operatorname {sen} ^{2}(x)=1

\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}

resulta:

f'(x)=\sec ^{2}(x)

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función $y=\operatorname {arcsen} x$ , que también se puede expresar como $\operatorname {sen} y=x$ . Derivando implícitamente la segunda expresión: