Anexo:Fórmulas que contienen a π

La siguiente es una lista de fórmulas importantes que involucran la constante matemática π (pi). Muchas de estas fórmulas se pueden encontrar en el artículo principal sobre el número π.

Geometría euclidiana

$\pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}$

donde C es la circunferencia del círculo, d es el diámetro y r es el radio. Más generalmente:

$A=\pi r^{2}$

donde A es el área del círculo. Más generalmente,

$\pi ={\frac {L}{w}}$

donde L y w son, respectivamente, el perímetro y el ancho de cualquier curva de ancho constante.

$A=\pi ab$

donde A es el área demarcada por una elipse con semieje mayor a y semieje menor b.

$C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)$

donde C es la circunferencia de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b y $a_{n},b_{n}$ son las iteraciones aritméticas y geométricas de $\operatorname {agm} (a,b)$, la media aritmético-geométrica de a y b con los valores iniciales $a_{0}=a$ y $b_{0}=b$ .

$A=4\pi r^{2}$

donde A es el área entre la bruja de Agnesi y su recta asintótica; r es el radio del círculo que lo define.

$A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

donde A es el área de un squircle con radio menor r y $\Gamma$ es la función gamma.

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}$

donde A es el área de una epicicloide con el círculo más pequeño de radio r y el círculo más grande de radio kr ( $k\in \mathbb {N}$ ), asumiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande.

$A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}$

donde A es el área de una rosa con frecuencia angular k ( $k\in \mathbb {N}$ ) y amplitud a.

$L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

donde L es el perímetro de la lemniscata de Bernoulli con distancia focal c.

$V={4 \over 3}\pi r^{3}$

donde V es el volumen de una esfera y r es el radio.

$SA=4\pi r^{2}$

donde SA es el área de superficie de una esfera y r es el radio.

$H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}$

donde H es el hipervolumen de la triple esfera y r es el radio.

$SV=2\pi ^{2}r^{3}$

donde SV es el volumen de superficie de la triple-esfera y r es el radio.

Polígonos convexos regulares

Suma S de los ángulos internos de un polígono regular convexo de n lados:

$S=(n-2)\pi$

Área A de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s:

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Radio inscrito r de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s :

$r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Circunradio R de un polígono regular convexo con n lados y lados de longitud s:

$R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}$

Física

• La constante cosmológica:

$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$

• Principio de incertidumbre de Heisenberg :

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica en el vacío:

$F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• Permeabilidad magnética del espacio libre: ​

$\mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}$

• Período aproximado de un péndulo simple de pequeña amplitud:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Periodo exacto de un péndulo simple con amplitud. $\theta _{0}$ ( $\operatorname {agm}$ es la media aritmético-geométrica):

$T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Tercera ley de Kepler del movimiento planetario:

${\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$

• La fórmula de pandeo :

$F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}$

Un problema que involucra "bolas de billar que chocan":

$\lfloor {b^{N}\pi }\rfloor$

es el número de colisiones realizadas (en condiciones ideales, con elasticidad perfecta y sin fricción) por un objeto de masa m inicialmente en reposo entre una pared fija y otro objeto de masa b ^{2 N} m, cuando es golpeado por el otro objeto. ​ (Esto da los dígitos de π en base b hasta N dígitos después del punto de base).

Fórmulas que dan π como resultado

Integrales

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi$

$2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi$ (el doble de la integral de un semicírculo $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ para obtener el área del círculo unitario)

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi$ ​ (véase también distribución de Cauchy )

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi$ (véase integral de Dirichlet )

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$ (cuando el camino de integración gira una vez en sentido antihorario alrededor de 0. Véase también la fórmula integral de Cauchy).

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ (véase la integral gaussiana).

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$ (Newton, Second Letter to Oldenburg, 1676) ​

$\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi$ ​

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}$ (donde $\operatorname {agm}$ es la media aritmético-geométrica; véase también la integral elíptica)

Nótese que los integrandos simétricos $f(-x)=f(x)$, que tienen la forma ${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$ también se pueden traducir a la forma ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$.

Series infinitas eficientes

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}$ (véase también doble factorial)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$ (Serie Madhava )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}$

Las siguientes fórmulas son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π:

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}$ (véase el algoritmo de Chudnovsky)

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

$\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi$ (véase también la prueba de que 22/7 es mayor que π ).

Serie de Plouffe para calcular dígitos decimales arbitrarios de π: ​

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}$ (véase: Srinivasa Ramanujan, serie Ramanujan-Sato)

Otras series infinitas

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi$ ​

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (ver también problema de Basilea y función zeta de Riemann )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi$

$\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi$ ​

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}$ (ver fórmula de Leibniz para pi)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$ (Newton, Second Letter to Oldenburg, 1676) ​

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$ ( Serie Madhava )

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

En general,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

donde $E_{2k}$ es el número de Euler $2k$. ​

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}$ (ver coeficientes de Gregory)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1}{\pi }}$ (donde $(x)_{n}$ es el factorial ascendente) ​

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3$ (Serie Nilakantha )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}$ (dónde $F_{n}$ es el enésimo número de Fibonacci )

$\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}$ (dónde $\sigma$ es la función de suma de divisores )

$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\epsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots$(donde $\epsilon (n)$ es el número de factores primos de la forma $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ de $n$) ​ ​

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$(donde $\varepsilon (n)$ es el número de factores primos de la forma $p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$ de $n$) ​

$\pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}$

$\pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}$ ​

Las dos últimas fórmulas son casos especiales de

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}$

que generan infinitas fórmulas análogas para $\pi$ cuando $x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .$

Algunas fórmulas que relacionan π y números armónicos se pueden ver aquí. Otras series infinitas que contienen a π son: ​

$\pi ={\frac {1}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {32}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {27}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {72}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}$
$\pi ={\frac {3528}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}$

donde $(x)_{n}$ es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente. Véase también Serie Ramanujan-Sato.

Fórmulas tipo Machin

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ (la fórmula original de Machin)

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

Productos infinitos

${\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,$ (Euler)

Donde los numeradores son los números primos impares; cada denominador es el múltiplo de cuatro más cerca del numerador.

Fórmulas arcotangentes

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2$

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

donde $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ tal que $a_{1}={\sqrt {2}}$.

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

donde $F_{k}$ es el k-ésimo número de Fibonacci.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

cuando $a+b+c=abc$ y $a$, $b$, $c$ son números reales positivos (see Identidades trigonométricas). Un caso especial es:

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Funciones complejas

$e^{i\pi }+1=0$ (Identidad de Euler)

Las siguientes equivalencias son verdaderas para cualquier número complejo $z$:

$e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z}$

$e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z}$​

Además

${\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .$

Suponemos que una red $\Omega$ es generada por dos períodos $\omega _{1},\omega _{2}$. Definimos los quasi-periodos de esta red con $\eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )$ y $\eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )$ donde $\zeta$ es la función zeta de Weierstrass ($\eta _{1}$ y $\eta _{2}$ son independientes de $z$). Entonces los periodos y quasi-periodos son relacionados con la identidad de Legendre:

$\eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.$

Fracciones continuas

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}$​

${\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4+{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad$ (Ramanujan, $\varpi$ es la constante de la lemniscata)

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}$​

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

$2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}$

Para más información sobre la cuarta fórmula, véase: Fracción continua de Euler.

Véase también

• Identidades trigonométricas

Referencias

Otro

• Tóth, László (2020), «Transcendental Infinite Products Associated with the +-1 Thue-Morse Sequence», Journal of Integer Sequences 23: 20.8.2 ..

Otras lecturas

En inglés:

• Borwein, Peter (2000). «The amazing number π». Nieuw Archief voor Wiskunde. 5th series 1 (3): 254-258. 
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, ISBN 0-8218-0863-X.