Ley cero-uno de Kolmogórov

La ley cero-uno de Kolmogórov es un teorema de la teoría de las probabilidades. Llamado así en honor al matemático ruso Andréi Kolmogórov, establece que la probabilidad de cierto tipo de eventos llamados eventos de cola es cero o uno. Los eventos de cola son aquellos definidos por una sucesión infinita de eventos independientes y que son independientes de cualquier subconjunto finito de estos.

Por ejemplo, supongamos infinitas realizaciones de una variable aleatoria de Bernoulli que vale uno con probabilidad $p$ ($1>p>0$), y cero con probabilidad $(1-p)$. El evento: "que salga en total una cantidad finita de unos" es independiente de cualquier número finito de realizaciones: examinando una cantidad finita de realizaciones no podemos concluir nada respecto a si la cantidad de unos fue finita o infinita.

Teorema formal y demostración

Sea $\left\{{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}\,$ sigma-álgebras independientes definidas para un espacio $\Omega \,$ y una medida de probabilidad $\mathbb {P} \,$. Definimos las siguientes sigma-álgebras :

${\mathcal {H}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i>n}{\mathcal {G}}_{i}\right),\quad {\text{y}}\quad {\mathcal {H}}_{\infty }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {H}}_{n}$

Entonces, para todo $H\in {\mathcal {H}}_{\infty }$ tenemos que $\mathbb {P} H=0$ o $\mathbb {P} H=1$.

Demostración

Consideremos el conjunto de sigma-álgebras $\left\{{\mathcal {H}}_{\infty },{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$. Tenemos que cualquier subconjunto finito de este conjunto forman un grupo independiente de sigma-álgebras. Esto es porque si elegimos una cantidad finita de miembros de $\left\{{\mathcal {G}}_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}\,$, tenemos que ${\mathcal {H}}_{\infty }\subseteq {\mathcal {H}}_{N}$, con N el máximo índice de los ${\mathcal {G}}_{i}\,$ elegidos. Por lo tanto, todas las sigma-álgebras de dicho conjunto son independientes entre sí, lo que implica que ${\mathcal {H}}_{\infty }\,$ y ${\mathcal {F}}_{\infty }:=\sigma \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {G}}_{i}\right)$ son independientes. Como además ${\mathcal {H}}_{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}_{\infty }$ tenemos entonces que cada $H\in {\mathcal {H}}_{\infty }$ es independiente de sí mismo, implicando que:

$\mathbb {P} H=\mathbb {P} (H\cap H)=(\mathbb {P} H)(\mathbb {P} H)$

de donde se concluye el resultado.

(Fin de la demostración)$\blacksquare$

Referencias

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).

• Datos: Q2004664