Medida (matemáticas)

función que asigna números a algunos subconjuntos de un conjunto, lo que podría verse como una generalización de longitud, área, volumen e integral.

En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las medidas geométricas y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

Definición

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Medida

Sea   un espacio medible.

Una medida sobre   es una aplicación   (véase: recta real extendida) que verifica:

  1. La medida del conjunto vacío es cero:
     .
  2.  -aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas.
     
     .

La terna   se denomina espacio de medida.

Ejemplos

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  • Medida contadora: la terna   es un espacio de medida, donde:
     .
    donde   denota el número de elementos de  .
  • Medida de Dirac: fijado un elemento   la terna   es un espacio de medida, donde:
     .
  • Medida de Lebesgue: definida en  , (donde   es la  -álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en  .

Propiedades

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Propiedades de las medidas

  1. Aditividad finita:
     
     
  2. Monotonía:
     
     
  3. Continuidad creciente:
     
     
  4. Continuidad decreciente:
     
     
  5.  -subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas.
     
     .

Medida exterior

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Medida exterior

Una medida exterior sobre   es una aplicación   que verifica:

  1. La medida del conjunto vacío es cero:
     .
  2. Monotonía:
     
     .
  3.  -subaditividad:
     
     .

Toda medida definida en   es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:

Teorema de Carathéodory

Sea   una medida exterior sobre  .

  • La familia
     
es una  -álgebra sobre  
  •   es una medida sobre  .

En definitiva,   es un espacio de medida.

Además, si  , entonces   (y naturalmente  ), lo que implica que   es un espacio de medida completo.

Véase también

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Referencias

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Bibliografía

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  • Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
  • Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
  • A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
  • Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.