σ-álgebra

En matemáticas, una $\sigma$-álgebra (léase "sigma-álgebra") sobre un conjunto $\Omega$ es una familia ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ no vacía de subconjuntos de $\Omega$, cerrada bajo complementarios y uniones numerables. Las $\sigma$-álgebras se usan principalmente para definir medidas. Es un concepto muy importante en análisis matemático y teoría de la probabilidad.

Definición

$\sigma$-álgebra Sea $\Omega$ un conjunto no vacío. Llamamos $\sigma$-álgebra sobre $\Omega$ a una familia ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ no vacía de subconjuntos de $\Omega$ que verifique: $\Omega \in {\mathcal {A}}$ (contiene al total). $A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {A}}$ (cerrada bajo complementarios). $A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$ (cerrada bajo uniones numerables).

Al par $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ se le llama espacio medible o espacio probabilizable, en función del contexto.

A los elementos de ${\mathcal {A}}$ se les llama conjuntos ${\mathcal {A}}$-medibles (o simplemente conjuntos medibles). En un contexto probabilístico, se les suele llamar sucesos.

Obsérvese que, al imponer que ${\mathcal {A}}$ sea no vacía, se puede suprimir la primera condición. Asimismo, se puede obtener otra definición equivalente suprimiendo la condición de que ${\mathcal {A}}$ sea no vacía.

Propiedades

Propiedades básicas de las $\sigma$-álgebras Sea ${\mathcal {A}}$ una $\sigma$-álgebra sobre un conjunto $\Omega$. Se cumplen las siguientes propiedades: El conjunto vacío pertenece a la $\sigma$-álgebra: $\emptyset \in {\mathcal {A}}$. La $\sigma$-álgebra es cerrada bajo uniones finitas: $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$. La $\sigma$-álgebra es cerrada bajo intersecciones numerables: $A_{n}\in {\mathcal {A}}\,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$. La $\sigma$-álgebra es cerrada bajo intersecciones finitas: $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {A}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$. La $\sigma$-álgebra es cerrada bajo diferencia de conjuntos: $A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$.

Cabe destacar otra propiedad importante relativa a las $\sigma$-álgebras:

Sea $\{{\mathcal {A}}_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ una familia arbitraria de $\sigma$-álgebras sobre $\Omega$. Entonces, la intersección $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {A}}_{\lambda }$ es también una $\sigma$-álgebra sobre $\Omega$.

Por el contrario, la unión de $\sigma$-álgebras no es en general una $\sigma$-álgebra.

Ejemplos

• Para cualquier conjunto $\Omega$, la familia $\{\emptyset ,\Omega \}$ es una $\sigma$-álgebra (la menor $\sigma$-álgebra posible sobre $\Omega$). Esta $\sigma$-álgebra se denomina $\sigma$-álgebra trivial.
• Para cualquier conjunto $\Omega$, la familia ${\mathcal {P}}(\Omega )$ (conjunto potencia) es una $\sigma$-álgebra (la mayor $\sigma$-álgebra posible sobre $\Omega$).
• Si $\Omega =\{a,b,c,d\}$, la familia ${\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}$ es una $\sigma$-álgebra (la menor que contiene al conjunto $\{a\}$).
• Para cualquier conjunto $\Omega$, la familia $\{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}$ (subconjuntos numerables o de complementario numerable) es una $\sigma$-álgebra. Esta familia es distinta del conjunto potencia de $\Omega$ si y sólo si $\Omega$ es no numerable.

σ-álgebra inducida

$\sigma$-álgebra inducida Sea ${\mathcal {A}}$ una $\sigma$-álgebra sobre un conjunto $\Omega$ y $E\subseteq \Omega$ no vacío. La familia ${\mathcal {A}}_{E}=\{A\cap E:A\in {\mathcal {A}}\}$ es una $\sigma$-álgebra sobre $E$. Recibe el nombre de $\sigma$-álgebra inducida.

σ-álgebra generada por una familia de subconjuntos

$\sigma$-álgebra generada por una familia de subconjuntos Sea ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ una familia de subconjuntos de $\Omega$. Se define la $\sigma$-álgebra generada por ${\mathcal {S}}$, denotada por $\sigma ({\mathcal {S}})$ o $\langle {\mathcal {S}}\rangle$, como la menor $\sigma$-álgebra (en el sentido de la inclusión) que contiene a ${\mathcal {S}}$.

Se construye como intersección de todas las $\sigma$-álgebras que contienen a ${\mathcal {S}}$.

Ejemplos

• Si $A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\neq \emptyset ,A\neq \Omega$, entonces $\sigma \left(A\right)=\{\emptyset ,A,A^{c},\Omega \}$. Concretamente, si $\Omega =\{a,b,c,d\}$, entonces tenemos el ejemplo antes visto: $\sigma \left(\{a\}\right)=\{\emptyset ,\{a\},\{b,c,d\},\Omega \}$.
• Sea ${\mathcal {S}}=\{\{x\}:x\in \Omega \}$. Entonces $\sigma \left({\mathcal {S}}\right)=\{A\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A{\text{ o }}A^{c}{\text{ numerable}}\}$, otro ejemplo mencionado anteriormente.

σ-álgebra de Borel

$\sigma$-álgebra de Borel Si $(X,{\mathcal {T}})$ es un espacio topológico, la $\sigma$-álgebra ${\mathcal {B}}=\sigma \left({\mathcal {T}}\right)$ se denomina $\sigma$-álgebra de Borel.

A sus elementos se les llama conjuntos de Borel o borelianos.

σ-álgebra producto

$\sigma$-álgebra producto Sean $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1}),(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ dos espacios medibles. Se define la $\sigma$-álgebra producto sobre $\Omega _{1}\times \Omega _{2}$ como: ${\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}=\sigma \left(\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in {\mathcal {A}}_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}\}\right)$

Funciones medibles

Función medible Una función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ entre dos espacios medibles se dice medible si la preimagen de cualquier conjunto ${\mathcal {A}}_{2}$-medible es ${\mathcal {A}}_{1}$-medible, esto es: $\forall A\in {\mathcal {A}}_{2},\,f^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}_{1}$.

Esta definición inspira la construcción de dos nuevas $\sigma$-álgebras:

σ-álgebra mínima

Sea $\Omega _{1}$ un conjunto, $(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ un espacio medible y $f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ una aplicación. Entonces, la familia ${\mathcal {A}}_{1}=\{f^{-1}(A):A\in {\mathcal {A}}_{2}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{1})$ es una $\sigma$-álgebra sobre $\Omega _{1}$.

Por construcción, esta es la mínima $\sigma$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre $\Omega _{1}$ tal que la función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ es medible.

σ-álgebra máxima

Sea $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})$ un espacio medible, $\Omega _{2}$ un conjunto y $f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}$ una aplicación. Entonces, la familia ${\mathcal {A}}_{2}=\{f(A):A\in {\mathcal {A}}_{1}\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega _{2})$ es una $\sigma$-álgebra sobre $\Omega _{2}$.

Por construcción, esta es la máxima $\sigma$-álgebra (en el sentido de la inclusión) sobre $\Omega _{2}$ tal que la función $f:(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})\to (\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})$ es medible.

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Anillo de conjuntos

Bibliografía

• Robert G. Bartle (1995) [1966]. The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Medida e integración , Mauro Chumpitaz (1989) UNI- Lima.
• Teoría de la medida, Mauro Chumpitaz (1991) UNI- Lima.

• Datos: Q217357