Gran icosidodecaedro romo

En geometría, el gran icosidodecaedro romo es un poliedro uniforme no convexo, indexado como U₅₇. Tiene 92 caras (80 triángulos y 12 pentagramas), 150 aristas y 60 vértices. Puede ser representado por un Símbolo de Schläfli sr{⁵⁄₂,3}, y un diagrama de Coxeter-Dynkin .

Gran icosidodecaedro romo
Familia: Poliedros uniformes estrellados
Caras	92
Polígonos que forman las caras	20+60 triángulos equiláteros 12 pentagramas regulares
Aristas	150
Vértices	60
Configuración de vértices	3.3.3.3.5⁄2
Grupo de simetría	I, [5,3]+, 532, orden 60
Poliedro dual	Gran hexacontaedro pentagonal
Símbolo de Schläfli	sr{5⁄2,3}
Símbolo de Wythoff	| 2 5⁄2 3
Símbolo de Coxeter-Dynkin

Modelo 3D de un gran icosidodecaedro romo

Este poliedro es el miembro romo de una familia que incluye al gran icosaedro, el gran dodecaedro estrellado y el gran icosidodecaedro.

En el libro Polyhedron Models por Magnus Wenninger, el poliedro es erróneamente llamado gran icosidodecaedro romo invertido, y viceversa.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un gran icosidodecaedro romo son todas las permutaciones pares de

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)),

(±(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)),

(±(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) and

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ+1)),

con un número par de signos más, donde

α = ξ−1/ξ

y

β = −ξ/τ+1/τ²−1/(ξτ),

donde τ = (1+√5)/2 es la razón áurea y ξ es la raíz real negativa de ξ³−2ξ=−1/τ, o aproximadamente −1.5488772. Tomando las permutaciones impares de las coordenadas anteriores con un número impar de signos más le da otra forma, el enantiomorfo de la otra.

El circunradio para una figura con aristas de longitud unitaria es

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.64502\dots$

donde $x$ es la raíz propia de $x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$. Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación de sexto grado en $R^{2},$

$4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0$

son los circunradios del dodecaedro romo (U₂₉), el gran icosidodecaedro romo (U₅₇), el gran icosidodecaedro romo invertido (U₆₉), y el gran icosidodecaedro retrorromo (U₇₄).

Poliedros relacionados

Gran hexecontaedro pentagonal

Gran hexecontaedro pentagonal
Familia: Poliedros duales uniformes
Caras	60
Polígonos que forman las caras	60 pentágonos irregulares
Configuración de caras	V3.3.3.3.5⁄2
Aristas	150
Vértices	60
Grupo de simetría	I, [5,3]+, 532, orden 60
Poliedro dual	Gran icosidodecaedro romo

Modelo 3D de un gran hexecontaedro pentagonal

El gran hexecontaedro pentagonal (o gran ditriacontaedro petaloide) es un poliedro isoedral y el dual al gran icosidodecaedro romo uniforme. Tiene 60 caras pentagonales irregulares que se cruzan, 120 aristas y 92 vértices.

Véase también

• Lista de poliedros uniformes
• Gran icosidodecaedro romo invertido
• Gran icosidodecaedro retrorromo

Referencias

• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 . Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 . Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Great pentagonal hexecontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Great snub icosidodecahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Poliedros uniformes y duales

• Datos: Q41961