Gran icosidodecaedro romo invertido

poliedro de 92 caras

En geometría, el gran icosidodecaedro romo invertido (o gran icosidodecaedro vertirromo) es un poliedro uniforme estrellado, indexado como U69. Su símbolo de Schläfli es sr{53,3} y le corresponde el diagrama de Coxeter-Dynkin . En el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger, el poliedro recibe equivocadamente el nombre de gran icosidodecaedro romo, y a su vez este último recibe incorrectamente el nombre de gran icosidodecaedro romo invertido.[1]

Gran icosidodecaedro romo invertido

Modelo 3D
Tipo poliedro uniforme, poliedro no convexo y poliedro romo Edit the value on Wikidata
Forma de las caras triángulo equilátero (80)
pentagrama (12) Edit the value on Wikidata
Dual gran hexecontaedro pentagonal invertido Edit the value on Wikidata
Elementos
Vértices 60
Aristas 150
Caras 92 Edit the value on Wikidata

Coordenadas cartesianas

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Las coordenadas cartesianas de los vértices de un gran icosidodecaedro romo invertido son todas las permutaciones pares (con un número par de signos más) de:

(+2α, +2, +2β),
(+(α−βτ−1/τ), +plusmn;(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ− 1)),
(+(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+ τ)),
(+(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−&tau ;)) y
(+(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ +1)),

donde

&alfa; = ξ−1/ξ

y

β = −ξ/τ+1/τ2−1/(ξτ),

donde τ = (1+5)/2 es el número áureo y ξ es la solución real positiva mayor de ξ3−2ξ=−1/τ, o aproximadamente 1,2224727. Tomando las permutaciones impares (con un número impar de signos más) de las coordenadas anteriores, se obtiene una forma enantiomorfa de la anterior.

El circunradio para la arista de longitud unidad es:

 

donde   es la raíz propia de  . Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación de sexto grado en  

 

son los circunradios del dodecaedro romo (U29), del gran icosidodecaedro romo (U57), del gran icosidodecaedro romo invertido (U69) y del gran icosidodecaedro retrorromo (U74).

Poliedros relacionados

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Gran hexecontaedro pentagonal invertido

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Gran hexecontaedro pentagonal invertido
 
Imagen del sólido
Tipo Poliedro estrellado
Caras 60  
Aristas 150
Vértices 92
Grupo de simetría I, [5,3]+, 532
Poliedro dual Gran icosidodecaedro romo invertido
 
Modelo 3D de un gran hexecontaedro pentagonal invertido

El gran hexecontaedro pentagonal invertido (o trisicosaedro petaloidal) es un poliedro no convexo isoedral. Está compuesto por 60 caras pentagonales cóncavas, 150 aristas y 92 vértices.

Es el dual del gran icosidodecaedro romo invertido, un poliedro uniforme estrellado.

Proporciones

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Sean   el número áureo y   el cero positivo más pequeño del polinomio  . Entonces, cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de   y un ángulo de  . Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La relación   entre las longitudes de los bordes largo y corto está dada por:

 .

Su ángulo diedro es igual a  . Parte de cada una de las caras se encuentra dentro de la figura, por lo que no son totalmente visibles en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio   juegan un papel similar en la descripción del gran icosidodecaedro romo y del gran hexecontaedro pentagrámico.

Véase también

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Referencias

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Enlaces externos

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