Dodecaedro truncado

sólido arquimediano
Dodecaedro truncado
Grupo Sólidos de Arquímedes
Número de caras 32
Polígonos que forman las caras 20 triángulos equiláteros
12 decágonos equiláteros
Número de aristas 90
Número de vértices 60
Tipo de Vértice Uniforme de orden 3
Caras relacionadas en los vértices 2 decágonos
1 triángulo
Simetría Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual Triaquisicosaedro
Propiedades Poliedro convexo, de vértices uniformes

Desarrollo del dodecaedro truncado

El dodecaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un dodecaedro. Posee 12 caras regulares decagonales, 20 caras regulares triangulares, 60 vértices y 90 aristas.

Relaciones geométricas

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Este poliedro se puede formar a partir de un dodecaedro regular mediante truncado (cortando sus esquinas), de modo que las caras pentagonales se conviertan en decágonos y las esquinas se conviertan en triángulos equiláteros.

Se utiliza en el teselado celdas-transitivo que llena el espacio hiperbólico, el panal icosaédrico bitruncado.

Área y volumen

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El área A y el volumen V de un dodecaedro truncado de longitud de arista a son:

 

Coordenadas cartesianas

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Las coordenadas cartesianas para los vértices de un dodecaedro truncado con longitud de arista 2φ − 2, centrado en el origen,[1]​ son todas las permutaciones pares de:

(0, ±1/φ, ±(2 + φ))
1/φ, ±φ, ±2φ)
φ, ±2, ±(φ + 1))

donde φ = 1 + 5/2 es el número áureo.

Proyecciones ortogonales

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El dodecaedro truncado tiene cinco proyecciones ortogonales especiales, centradas en: un vértice, en dos tipos de aristas y dos tipos de caras. Los dos últimos corresponden a los planos de Coxeter A2 y H2.

Proyecciones ortogonales
Centradas en Vértices Arista
3-3
Arista
10-10
Cara
triangular
Cara
Decagonal
Sólido      
Alámbrico          
Simetría
proyectiva
[2] [2] [2] [6] [10]
Dual          

Teselaciones esféricas y diagramas de Schlegel

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El dodecaedro truncado también se puede representar como un poliedro esférico y proyectarse sobre el plano a través de una proyección estereográfica. Esta proyección es conforme, preservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.

Los diagramas de Schlegel son similares, con una proyección perspectiva y aristas rectas.

Proyección ortogonal Proyecciones estereográficas
   
Centrada en decágono
 
Centrada en triángulo
     

Disposición de vértices

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Comparte su disposición de vértices con tres poliedros uniformes estrellados:

 
Dodecaedro truncado
 
Gran icosicosidodecaedro
 
Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal
 
Gran dodecicosaedro

Poliedros y teselados relacionados

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Es parte de un proceso de truncamiento entre un dodecaedro y un icosaedro:

Familia de poliedros icosaédricos uniformes
Simetría: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
               
                                               
{5,3} t{5,3} r{5,3} t{3,5} {3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duales de los poliedros uniformes
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Este poliedro está topológicamente relacionado como parte de la secuencia de poliedros uniformes truncados con configuración de vértices (3.2n.2n) y simetría [n,3] del grupo de Coxeter.

*Mutación de simetría n32 de teselados esféricos truncados: t{n,3}
Simetría
*n32
[n,3]
Esférica Euclídea Hiperbólica compacta Paracompacta
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
Formas
truncadas
               
Símbolo t{2,3} t{3,3} t{4,3} t{5,3} t{6,3} t{7,3} t{8,3} t{∞,3}
Triaquis
figuras
               
Config. V3.4.4 V3.6.6 V3.8.8 V3.10.10 V3.12.12 V3.14.14 V3.16.16 V3.∞.∞

Grafo del dodecaedro truncado

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Grafo del dodecaedro truncado
 
Diagrama de Schlegel, con simetría de 5 lóbulos
Vértices 60
Aristas 90
Automorfismos 120
Número cromático 2
Propiedades Cúbico, hamiltoniano, regular, cero-simétrico

En el campo de la teoría de grafos, el grafo del dodecaedro truncado es el esquema de vértices y aristas del dodecaedro truncado, uno de los sólidos arquimedianos. Tiene 60 vértices y 90 líneas, y es un grafo arquimediano cúbico.[2]

 
Circular

Véase también

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Referencias

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  1. Weisstein, Eric W. «Icosahedral group». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  2. Read, R. C.; Wilson, R. J. (1998), An Atlas of Graphs, Oxford University Press, p. 269 .

Bibliografía

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Enlaces externos

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