Joaobruno

Ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en un campo dado es una ecuación de la forma

$P=0$

donde $P$ es un polinomio algebraico en ese campo (posiblemente con varias variables). Por ejemplo:

$x^{2}+3xy-4y^{2}+1=0$

es una ecuación algebraica en los racionales

Polinomio algebraico

En matemáticas, un Polinomio algebraico en un campo es un polinomio con coeficientes en ese campo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el campo es $\mathbb {Q}$, el campo de los números racionales, en este caso los polimonios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

$-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3$

es un polinomio algebraico en los racionales.

Conversión de coeficientes

Una ecuación algebraica en los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación:

$-7x^{3}+{\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\end{matrix}}x^{2}-5x+3$

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

$-21x^{3}+2x^{2}-15x+9=0.$

La forma estandar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio. Si todos los otros coeficientes son enteros, entonce las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Considerando la ecuación

$e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy-5\sin(T)z-2=0$

parece que no es una ecuación algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en los números racionales debido a que el seno, la exponenciación y 1/T no son funciones polinomiales. Sin embargo si es una equación algebraica en $\mathbb {Q} ((T))$, el campo de la serie formal de Laurent con $T$ en los números racionales.