Suma directa de módulos

Un coproducto de objetos en una categoría , es un objeto de , junto a una familia de morfismos () tal que para cualquier objeto y una familia de morfismos , existe un único morfismo tal que .

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota .

Ejemplos

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  • Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea   una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

  y todos los   son cero, excepto un número finito de ellos  , y definimos
  como la inclusión de   en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento   R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

 
 
  • Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que  , podemos definir la suma directa interna, denotada  , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.
  • Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de  -módulos.

Suma directa de espacios vectoriales

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Dados dos subespacios vectoriales   de un espacio vectorial  , podemos definir la suma directa interna de  , y diremos que   y   están en suma directa, si, y sólo si, para todo elemento   existe una única pareja   tal que  . En este caso, escribiremos  . En este caso se puede decir también que la suma   es directa.

Dicho de otro modo, la suma de dos subespacios vectoriales   y   es directa si la descomposición de todo elemento de   como suma de un elemento de   y un elemento de   es única.

Esta noción se puede generalizar a familias finitas de subespacios de  . Diremos que   están en suma directa si, y sólo si, para todo elemento de la suma  , existe una única  -tupla   tal que  .

En dimensión finita, tenemos la siguiente caracterización de que una familia de subespacios estén en suma directa:

Sean   un espacio vectorial de dimensión finita,   subespacios vectoriales y   con  . Son equivalentes:

 

 

  es base de   es base de  

 

 

 
Supongamos que  . Tenemos que, en particular, para  , pero, por  , la forma de escribir   como suma de vectores de   es única, por lo que necesariamente  .

 

Por definición, tenemos que, para cada  ,  , por lo que  . Por lo tanto, el conjunto que queremos ver que es base es generador. Sólo hace falta ver, por tanto, que es linealmente independiente. Lo vemos por definición:
Supongamos que  ,
con   y   y   escalares. Sólo tenemos que ver que todos estos   son iguales a  .
Observamos que cada paréntesis de la anterior suma se puede considerar como un  . Así, la anterior condición es equivalente a  . Pero por hipótesis   esto significa que   y, por tanto, que  .
Por tanto, por definición, los vectores de todas las bases son linealmente independientes entre ellos y, así, la unión de todas forma una base de la suma de subespacios, como queríamos.

 

Por definición de dimensión, la dimensión de   es el número de vectores linealmente independientes en  , que genera el espacio   (es decir, es el cardinal de una base). Pero, por hipótesis  , todos lo vectores de   son linealmente independientes entre ellos, por lo que  | | | | .

 

Fijamos   arbitrario. Aplicamos la fórmula de Grassmann a  :
 
 

 

Para ver que la suma es directa, tenemos que ver que hay una única forma de escribir cualquier vector   como suma de vectores de  . Sea, pues,   arbitrario y supongamos que  , con  . Fijamos   arbitrario y despejamos de la anterior ecuación  :
 
Y esto para cualquier  , pues este era arbitrario. Por tanto, la forma de expresar   como combinación de vectores de   es única, por lo que la suma es directa  

En dimensión cualquiera, sólo son ciertos aquellos apartados donde no se utiliza que la dimensión sea finita para construir bases o hablar de la fórmula de Grassmann, es decir, en dimensión arbitraria, tenemos la siguiente caracterización:

Sean   un espacio vectorial,   subespacios vectoriales y   con  . Son equivalentes:

 

 

 

La demostración la equivalencia se hace de forma circular, como la anterior. De hecho, las demostraciones de   y   no hacían uso de que la dimensión fuera finita, por lo que se pueden reproducir exactamente igual aquí. Por tanto, sólo queda ver que  :

 

Fijamos   arbitrario y consideramos  . Si vemos que, necesariamente,  , habremos acabado. Tenemos que   y que   tales que  .
Como   es un subespacio vectorial,  , por lo que la expresión anterior es del tipo de  , lo que nos permite concluir que   y, en particular, que  , como queríamos demostrar.  

Resultados clásicos relacionados con la suma directa

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Los siguientes resultados relacionados con la suma directa son clásicos:

  • Dados   un espacio vectorial sobre un cuerpo   de dimensión finita y   un endomorfismo de   con valores propios   distintos dos a dos, si denotamos   el espacio propio del valor propio  , entonces  . La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre diagonalización.
  • Dado   un espacio vectorial sobre un cuerpo   de dimensión finita, para cualquier subespacio  , se tiene que  , con   el complemento ortogonal de  . La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre el complemento ortogonal.
  • Dados   un espacio vectorial sobre un cuerpo   de dimensión finita,   un endomorfismo de   y un polinomio   anulador de  , i.e.  , que descompone en factores irreducibles como  , se tiene que  . Por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio puede ser, por ejemplo, el polinomio característico de  . Se puede demostrar que para cualquier polinomio,   es un subespacio invariante por  . Por tanto, el anterior teorema afirma que para cualquier endomorfismo   de  , podemos descomponer   como suma directa de subespacios invariantes por  . La demostración de todo esto se puede ver en el artículo sobre subespacios invariantes.

Enlaces externos

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