Polinomio irreducible

En teoría de Anillos, dado un dominio de integridad R, un polinomio $p(x)\in R[x]$ no nulo y no unidad (es decir, sin inverso multiplicativo en R[x]) se dice irreducible si en cualquier factorización de la forma $p(x)=q(x)r(x)$ en el dominio $R[x]$ , uno de los poliniomios $q(x)$ o $r(x)$ es unidad. Cuando el dominio de integridad en cuestión es un campo, el que $p(x)$ sea un elemento irreducible de $R[x]$ equivale a que este no pueda factorizarse como el producto de dos polinomios de grado menor estricto al suyo. Es decir, si $p=r\cdot q$ entonces ha de ser $r\in R$ o $q\in R$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto $\scriptstyle \mathbb {R}$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto $\scriptstyle \mathbb {C}$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto $\scriptstyle \mathbb {Q}$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto $\scriptstyle \mathbb {Z}$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)

,

p_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)

,

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

,

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})

,

p_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)

.

Sobre el anillo $\scriptstyle \mathbb {Z}$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {Q}$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {R}$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
Sobre el cuerpo $\scriptstyle \mathbb {C}$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en $\scriptstyle \mathbb {C}$ , cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales

p(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})

donde

a_{n}

es el coeficiente principal del polinomio y

z_{1},\ldots ,z_{n}

son los ceros de

p(x)

. Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo $\scriptstyle \mathbb {R}$ , tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreductibilidad

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si $x^{{p^{m-1}} \over {ri}}\not \equiv 1{\pmod {f(x)}}$ cuando p es primo y x es un elemento de orden $p^{m}\in \mathbb {Z} _{p}[x]/f(x)$ .

Polinomios irreducibles de Z[x]

Un polinomio $\scriptstyle P(x)$ es irreducible sobre $\scriptstyle \mathbb {Z} [X]$ , si y sólo si $\scriptstyle Q(x)=P(x+1)$ también es irreducible.
Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: $\scriptstyle P(x)=(ax+b)(cx+d)=(ac)x^{2}+(ad+bc)x+bd$ , si $\scriptstyle \{b,d\}\cap \{{+1,-1}\}=\varnothing$ , entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x]

Sea f(x) un polinomio primitivo. Así pues, si f(x) es irreducible sobre  $\scriptstyle \mathbb {Z} [X]$ , entonces también es irreducible considerado sobre  $\scriptstyle \mathbb {Q} [X]$ .^[1]

Polinomios irreducibles de R[x]

Los polinomios irreducibles sobre $\scriptstyle \mathbb {R} [X]$ son los binomios y los polinomios $\scriptstyle x^{2}+bx+c$ de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir: