En matemáticas , la secuencia aritmético-geométrica es el resultado de la multiplicación término por término de una progresión geométrica con los términos correspondientes de una progresión aritmética . En pocas palabras, el término n de una secuencia aritmético-geométrica es el producto del término n-ésimo de una secuencia aritmética y el término n-ésimo de una geométrica.[ 1] valores esperados en la teoría de la probabilidad . Por ejemplo, la secuencia:
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
⋯
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
es una secuencia aritmético-geométrica. El componente aritmético aparece en el numerador (en azul), y el geométrico en el denominador (en verde).
La suma de esta sucesión infinita se conoce como serie aritmético-geométrica , y su forma más básica se ha denominado escalera de Gabriel :[ 2] [ 3] [ 4]
∑
k
=
1
∞
k
r
k
=
r
(
1
−
r
)
2
,
p
a
r
a
0
<
r
<
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\color {blue}k}{\color {green}r^{k}}={\frac {r}{(1-r)^{2}}},\quad \mathrm {para\ } 0<r<1}
La denominación también puede aplicarse a diferentes objetos que presenten características tanto de secuencias aritméticas como geométricas; por ejemplo, la noción francesa de secuencia aritmético-geométrica se refiere a secuencias de la forma
u
n
+
1
=
a
u
n
+
b
{\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b}
ecuaciones en diferencias lineales .
editar
Los primeros términos de una sucesión aritmético-geométrica compuesta por una progresión aritmética (en azul) con diferencia
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
progresión geométrica (en verde) con valor inicial
b
{\displaystyle b}
r
{\displaystyle r}
[ 5]
t
1
=
a
b
t
2
=
(
a
+
d
)
b
r
t
3
=
(
a
+
2
d
)
b
r
2
⋮
t
n
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}
Por ejemplo, la secuencia
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
⋯
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
es definida por
d
=
b
=
1
{\displaystyle d=b=1}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
La suma de los primeros n
S
n
=
∑
k
=
1
n
t
k
=
∑
k
=
1
n
[
a
+
(
k
−
1
)
d
]
b
r
k
−
1
=
a
b
+
[
a
+
d
]
b
r
+
[
a
+
2
d
]
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
=
A
1
G
1
+
A
2
G
2
+
A
3
G
3
+
⋯
+
A
n
G
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}
donde
A
i
{\displaystyle A_{i}}
G
i
{\displaystyle G_{i}}
i -ésimos términos de la sucesión aritmética y geométrica, respectivamente.
Esta suma tiene la expresión de forma cerrada :[ 6]
S
n
=
a
b
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
−
A
n
+
1
G
n
+
1
1
−
r
+
d
r
(
1
−
r
)
2
(
G
1
−
G
n
+
1
)
=
a
(
1
−
r
n
)
1
−
r
+
d
r
(
1
−
n
r
n
−
1
+
(
n
−
1
)
r
n
)
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1})\\&={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}
Multiplicando la expresión de la secuencia:[ 5]
S
n
=
a
b
+
[
a
+
d
]
b
r
+
[
a
+
2
d
]
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
{\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}
por r
r
S
n
=
a
b
r
+
[
a
+
d
]
b
r
2
+
[
a
+
2
d
]
b
r
3
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
.
{\displaystyle rS_{n}=abr+[a+d]br^{2}+[a+2d]br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}.}
Restando rSn Sn series telescópicas obtenemos:
(
1
−
r
)
S
n
=
[
a
b
+
(
a
+
d
)
b
r
+
(
a
+
2
d
)
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
]
−
[
a
b
r
+
(
a
+
d
)
b
r
2
+
(
a
+
2
d
)
b
r
3
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
]
=
a
b
+
d
b
(
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
=
a
b
+
d
b
(
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
+
r
n
)
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
=
a
b
+
d
b
r
(
1
+
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
=
a
b
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
1
−
r
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
=
a
b
−
(
a
+
n
d
)
r
n
b
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
1
−
r
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n}\\[5pt]={}&{ab-(a+nd)r^{n}}b+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}
donde la última igualdad resulta de la expresión para la suma de una serie geométrica .
Finalmente, dividir por 1 − r da el resultado:
S
n
=
a
b
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
(
1
−
r
)
2
=
a
b
(
1
−
r
n
)
1
−
r
−
n
b
d
r
n
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
(
1
−
r
)
2
=
a
b
(
1
−
r
n
)
1
−
r
−
n
b
d
r
n
(
1
−
r
)
(
1
−
r
)
2
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
(
1
−
r
)
2
=
a
b
(
1
−
r
n
)
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
n
r
n
−
1
+
(
n
−
1
)
r
n
)
(
1
−
r
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}={}&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}(1-r)}{(1-r)^{2}}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dbr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}
Si −1 < r < 1, entonces la suma S de la serie aritmético-geométrica, es decir, la suma de todos los infinitos términos de la progresión, viene dada por[ 5]
S
=
∑
k
=
1
∞
t
k
=
lim
n
→
∞
S
n
=
a
b
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
1
−
r
+
d
G
1
r
(
1
−
r
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}
Si r está fuera del rango anterior, la serie:
diverge (cuando r > 1, o cuando r = 1 donde la serie es aritmética y a y d no son ambos cero; si tanto a como d son cero en el último caso, todos los términos de la serie son cero y la serie es constante )o se alterna (cuando r ≤ −1).
editar
Por ejemplo, la suma:
S
=
0
1
+
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
⋯
{\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }
siendo la suma de una serie aritmético-geométrica definida por
d
=
b
=
1
{\displaystyle d=b=1}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
S
=
2
{\displaystyle S=2}
Esta secuencia corresponde al número esperado de lanzamientos de moneda antes de obtener "cruz". La probabilidad
T
k
{\displaystyle T_{k}}
k- ésimo lanzamiento es la siguiente:
T
1
=
1
2
,
T
2
=
1
4
,
…
,
T
k
=
1
2
k
{\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}
Por lo tanto, el número esperado de lanzamientos está dado por:
∑
k
=
1
∞
k
T
k
=
∑
k
=
1
∞
k
2
k
=
S
=
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2}
↑ «Arithmetic-Geometric Progression | Brilliant Math & Science Wiki» . brilliant.org (en inglés estadounidense) . Consultado el 21 de abril de 2021 . ↑ Swain, Stuart G. (2018). «Proof Without Words: Gabriel's Staircase». Mathematics Magazine 67 (3): 209-209. ISSN 0025-570X doi :10.1080/0025570X.1994.11996214 ↑ Edgar, Tom (2018). «Staircase Series». Mathematics Magazine 91 (2): 92-95. ISSN 0025-570X doi :10.1080/0025570X.2017.1415584 ↑ Weisstein, Eric W. «Gabriel's Staircase» . MathWorld. ↑ a b c Riley, Ken; Hobson, Michael; Bence, Stephen (2010). Mathematical methods for physics and engineering (en inglés) (Tercera edición). Cambridge University Press. p. 118 . ISBN 978-0-521-86153-3 . Consultado el 16 de enero de 2022 . ↑ Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Liu, John (2014). Jesús Mares Chacón, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada (4 edición). México D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. ISBN 978-607-15-1145-4 
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c2da02b4b0fb0277466a44162a1320a078ede)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54d1f9fec578d07bf56c1534273e8de0a5b2818)
![{\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1db0043b62dbe6c15050282c4a5d93ba3b55dd)
![{\displaystyle rS_{n}=abr+[a+d]br^{2}+[a+2d]br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a1df7cf8f48ece476dfda78f4ab50c65ed1e1d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n}\\[5pt]={}&{ab-(a+nd)r^{n}}b+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397c0dade25fc3be257ae9567be43cee9445c950)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}={}&{\frac {ab-(a+nd)br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}-{\frac {nbdr^{n}(1-r)}{(1-r)^{2}}}+{\frac {dbr(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\[5pt]={}&{\frac {ab(1-r^{n})}{1-r}}+{\frac {dbr(1-nr^{n-1}+(n-1)r^{n})}{(1-r)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e1aed107fbf5e6996086200573fb5cc2749d6c)
