Principio del argumento

En el análisis complejo, el principio del argumento (o principio del argumento de Cauchy) expresa que si f(z) es una función meromorfa definida en el conjunto abierto limitado por un camino cerrado C, tal que f no tiene ceros ni polos en C, entonces se cumple la siguiente relación:

El camino C (en negro), los ceros de f (en azul) y los polos de f (en rojo).

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

donde N y P denotan respectivamente el número de ceros y polos de f(z) en el abierto limitado por el camino C, contando cada cero y polo tantas veces como indique su multiplicidad y orden respectivamente. En esta versión del teorema se supone que el camino C es simple, es decir, sin cortes consigo mismo, y que tiene una orientación antihoraria.

De manera más general, considérese una curva C, orientada en sentido antihorario, que se pueda deformar hasta un punto en el interior de un conjunto abierto Ω del plano complejo. Para cada punto z ∈ Ω, sea n(C,z) el índice de C en torno al punto z. Entonces se tiene:

$\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right)$

donde la primera suma recorre todos los ceros a de f, contados tantas veces como indiquen sus multiplicidades, y la segunda suma recorre los polos b de f, contados tantas veces como indiquen sus órdenes.

Demostración

Sea z_N un cero de f. Podemos entonces escribir f(z) = (z − z_N)^kg(z), donde k es la multiplicidad del cero, y por consiguiente, g(z_N) ≠ 0. Obtenemos entonces:

$f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!$

y

${f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.$

Dado que g(z_N) ≠ 0, se sigue que g' (z)/g(z) no tiene singularidades en z_N, y es por lo tanto analítica en z_N, lo cual implica que el residuo de f′(z)/f(z) en z_N será k.

Sea z_P un polo de f. Podemos entonces escribir f(z) = (z − z_P)^−mh(z), donde m es el orden del polo, y por consiguiente h(z_P) ≠ 0. Se tiene entonces:

$f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.$

y

${f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}$

de manera análoga al caso anterior. De ahí se sigue que h′(z)/h(z) no tiene singularidades en z_P ya que h(z_P) ≠ 0, y por consiguiente es analítica en z_P. Se tiene entonces que el residuo de f′(z)/f(z) en z_P es −m.

Combinando estos resultados, vemos que cada cero z_N de multiplicidad k de f da lugar a un polo simple (de orden 1) para f′(z)/f(z) de residuo k, y cada polo z_P de orden m de f da lugar a un polo simple para f′(z)/f(z) de residuo −m. Además, puede demostrarse que f′(z)/f(z) no tiene ningún otro polo y, por lo tanto, ningún otro residuo.

De acuerdo con el teorema de los residuos, tendremos que la integral sobre C es el producto de 2πi por la suma de los residuos. Combinando estos resultados, la suma de los k para cada cero z_N es el número de ceros contado tantas veces como indique su multiplicidad, y lo mismo para los polos, de lo que se sigue el resultado buscado.

Consecuencias

El principio del argumento tiene consecuencias sobre el índice de f(z) en torno al origen. Si, por ejemplo, C es un camino cerrado centrado en el origen, vemos que la integral de f′(z)/f(z) sobre C es igual a la variación en valor de log f(z). Dado que C es cerrado solo necesitamos considerar la variación en $i$ arg f(z) sobre C −, que será un múltiplo de 2π$i$ ya que C es cerrado (pero puede dar más de una vuelta en torno al origen). Pero debido al principio del argumento:

$\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)$

los factores de 2π$i$ se cancelan y nos quedará:

$N-P=I(C,0)\,\!$

donde I(C,0) denota el índice de f sobre C en 0.

El teorema de Rouché se apoya en el principio del argumento.

Véase también

• Derivada logarítmica

Referencias

• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis (International Series in Pure and Applied Mathematics). McGraw-Hill. ISBN 978-0070542341. 
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0070006577. 
• Churchill, Ruel Vance; Brown, James Ward (1989). Complex Variables and Applications. McGraw-Hill. ISBN 978-0070109056. 

• Datos: Q1370201