Número primo de Wolstenholme

En teoría de números, un número de Wolstenholme es un número primo p si cumple la siguiente condición:

Número primo de Wolstenholme
Nombrado por	Joseph Wolstenholme
Año de publicación	1995​
Autor de la publicación	McIntosh, R. J.
No. de términos conocidos	2
No. conjeturado de términos	Infinito
Subsecuencia de	Primos regulares
Primeros términos	16843, 2124679
Mayor término conocido	2124679
índice OEIS	A088164 Primos de Wolstenholme: primos p tales que el binomio (2p-1,p-1)== 1 (mod p^4)

${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}$

Los números de Wolstenholme se nombran en honor a Joseph Wolstenholme (1891-1929), quien demostró el teorema que lleva su nombre, el equivalente a la relación matemática p³ en 1862, siguiendo a Charles Babbage, quien demostró la equivalencia para p² en 1819.

Hasta la fecha, los únicos números primos de Wolstenholme conocidos son 16843 y 2124679 (sucesión A088164 en OEIS); cualquier otro número primo de Wolstenholme debe ser mayor de 10⁹.

Definición

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Existen primos de Wolstenholme que no sean 16843 y 2124679?

El primo de Wolstenholme se puede definir de varias formas equivalentes.

Definición mediante coeficientes binomiales

Un primo de Wolstenholme es un número primo p > 7 que satisface la congruencia

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},$

donde la expresión en el lado izquierdo de la ecuación denota un coeficiente binomial.​ En comparación, el teorema de Wolstenholme establece que para cada primo p > 3 se cumple la siguiente congruencia:

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.$

Definición a través de los números de Bernoulli

Un primo de Wolstenholme es un primo p que divide el numerador del número de Bernoulli B_p−3.​​​ Por lo tanto, los números primos de Wolstenholme forman un subconjunto de los primos regulares.

Definición a través de pares irregulares

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que (p, p–3) es un par irregular.​​

Definición a través de números armónicos

Un primo de Wolstenholme es un primo p tal que​

$H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,$

es decir, el numerador del número armónico $H_{p-1}$ expresado en términos mínimos es divisible por p³.

Búsqueda y estado actual

La búsqueda de números primos de Wolstenholme comenzó en la década de 1960 y continuó durante las décadas siguientes, y los últimos resultados se publicaron en 2007. El primer número primo de Wolstenholme (16843) se encontró en 1964, aunque no se informó explícitamente en ese momento.​ El descubrimiento de 1964 se confirmó posteriormente de forma independiente en la década de 1970. Este siguió siendo el único ejemplo conocido de un primo de este tipo durante casi 20 años, hasta el anuncio del descubrimiento del segundo primo de Wolstenholme (2124679) en 1993.​ Hasta 1,2×10⁷, no se encontraron más primos de Wolstenholme.​ Más tarde, McIntosh lo amplió a 2×10⁸ en 1995.​ y Trevisan & Weber pudieron alcanzar 2,5×10⁸.​ El último resultado a partir de 2007 es que solo hay esos dos números primos de Wolstenholme hasta 10⁹.​

Número esperado de primos de Wolstenholme

Se conjetura que existen infinitos números primos de Wolstenholme, y que el número de primos de Wolstenholme ≤ x es aproximadamente ln ln x, donde ln denota el logaritmo natural. Para cada primo p ≥ 5, el cociente de Wolstenholme se define como

$W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}.$

Claramente, p es un primo de Wolstenholme si y solo si W_p ≡ 0 (mod p). Empíricamente se puede suponer que los restos de W_p módulo p están uniformemente distribuidos en el conjunto {0, 1, ..., p–1}. Por este razonamiento, la probabilidad de que el resto tome un valor particular (por ejemplo, 0) es de alrededor de 1/p.​

Primeros 50 números de Wolstenholme

Números de Wolstenholme

n	$\sum _{k}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}$
1	1
2	5
3	49
4	205
5	5269
6	5369
7	266681
8	1077749
9	9778141
10	1968329
11	239437889
12	240505109
13	40799043101
14	40931552621
15	205234915681
16	822968714749
17	238357395880861
18	238820721143261
19	86364397717734821
20	17299975731542641
21	353562301485889
22	354019312583809
23	187497409728228241
24	187700554334941861
25	23485971550561141649
26	23507608254234781649
27	211749047271858474841
28	10383930672892966877209
29	8739335943455356005972769
30	8745363341445960333910369
31	8409718829321111776031704609
32	33659238975573797429256624061
33	33678387172165436302473264061
34	33696425568435587455529424061
35	33713447924426032135474665661
36	33729537728506506466441425661
37	46196589536413702085491232689909
38	46216358869207937188943565649909
39	46235127387652957234561691089909
40	46252969210499754415427421586309
41	77779788159404962661718664480825429
42	11115284554577186575391010113969347
43	20559016479517324506134616092603242603
44	20565563752324397321583760920379522603
45	20571823268450072862674893950786869803
46	20577813589884143264711540636313749803
47	45469065740208565442457337652191951394827
48	45481218615217799371405854817966216012327
49	15604058017022744466148977281125827189188161
50	3121579929551692678469635660835626209661709

Véase también

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wall-Sun-Sun
• Número primo de Wilson
• Tabla de congruencias

Bibliografía

• Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), «Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000», Notices of the American Mathematical Society 11: 97 .
• Johnson, W. (1975), «Irregular Primes and Cyclotomic Invariants», Mathematics of Computation 29 (129): 113-120, JSTOR 2005468, doi:10.2307/2005468, archivado desde el original el 22 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), «Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million», Mathematics of Computation 61 (203): 151-153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, JSTOR 2152942, doi:10.2307/2152942, archivado desde el original el 27 de julio de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• McIntosh, R. J. (1995), «On the converse of Wolstenholme's Theorem», Acta Arithmetica 71 (4): 381-389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389, archivado desde el original el 8 de agosto de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), «Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem», Matemática Contemporânea 21: 275-286, archivado desde el original el 22 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Ribenboim, P. (2004), «Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime», The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6 . (enlace roto disponible en este archivo).
• Clarke, F.; Jones, C. (2004), «A Congruence for Factorials», Bulletin of the London Mathematical Society 36 (4): 553-558, doi:10.1112/S0024609304003194 . (enlace roto disponible en este archivo).
• McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), «A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes», Mathematics of Computation 76 (260): 2087-2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 . (enlace roto disponible en este archivo).
• Zhao, J. (2007), «Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem», Journal of Number Theory 123: 18-26, S2CID 937685, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, archivado desde el original el 20 de julio de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .
• Zhao, J. (2008), «Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums», International Journal of Number Theory 4 (1): 73-106, doi:10.1142/s1793042108001146, archivado desde el original el 20 de septiembre de 2022, consultado el 19 de septiembre de 2022 .

Lecturas adicionales

• Babbage, C. (1819), «Demonstration of a theorem relating to prime numbers», The Edinburgh Philosophical Journal 1: 46-49 .
• Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), «On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II», Communications in Number Theory and Physics 3 (3): 555-591, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, arXiv:0907.2578, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5 .
• Wolstenholme, J. (1862), «On Certain Properties of Prime Numbers», The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5: 35-39 .

Enlaces externos

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime de The Prime Glossary
• McIntosh, R. J. Estado de búsqueda de Wolstenholme en marzo de 2004 correo electrónico a Paul Zimmermann
• Bruck, R. Teorema de Wolstenholme, números de Stirling y coeficientes binomiales
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums observación interesante que involucra los dos números primos de Wolstenholme
• Caldwell, Chris. «The Prime Glossary: Wolstenholme prime» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Wolstenholme .
• Estado de la búsqueda de primos de Wolstenholme

• Datos: Q2550445