La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):
La función Si(x )
Si
(
x
)
=
∫
0
x
sinc
(
t
)
d
t
=
∫
0
x
sen
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\mbox{sinc}}(t)\,dt=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt}
Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie :
Si
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
⋅
3
!
+
x
5
5
⋅
5
!
−
x
7
7
⋅
7
!
+
…
{\displaystyle {\mbox{Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\dots }
Algunas propiedades de la integral senoidal son:
Al ser la integral de una función par , es una función impar , esto es, Si(-x) = -Si(x).
El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:
lim
x
→
∞
Si
(
x
)
=
∫
0
∞
sen
(
t
)
t
d
t
=
π
2
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\mbox{Si}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}}
Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es
−
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}
Gráfico de Si(x ) para 0 ≤ x ≤ 8π. Las diferentes definiciones son:
S
i
(
x
)
=
∫
0
x
sen
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}
s
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
sen
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}
S
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)}
sen
x
/
x
{\displaystyle \operatorname {sen} x/x}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
s
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {si}}(x)}
sen
x
/
x
{\displaystyle \operatorname {sen} x/x}
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
sen
t
t
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {sen} t}{t}}}
Función sinc y también la función esférica de Bessel:
j
n
,
y
n
{\displaystyle j_{n},y_{n}}
de orden cero. Cuando
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
Se define la función integral senoidal complementaria como:
si
(
x
)
=
Si
(
x
)
−
π
2
=
−
∫
x
∞
sen
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle {\mbox{si}}(x)={\mbox{Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt}
Gráfico de Ci(x ) para 0 < x ≤ 8π. Se define la función integral cosenoidal como:
ci
(
x
)
=
∫
x
∞
cos
(
t
)
t
d
t
{\displaystyle {\mbox{ci}}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,dt}
Las diferentes definiciones son:
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}
c
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}
C
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
c
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)}
cos
x
/
x
{\displaystyle \cos x/x}
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
c
i
(
x
)
=
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}
C
i
n
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}
Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingeniería .
Weisstein, Eric W . «Sine Integral» . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research . Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal» , Encyclopaedia of Mathematics (en inglés) , Springer, ISBN 978-1556080104 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Integral senoidal» , Encyclopaedia of Mathematics (en inglés) , Springer, ISBN 978-1556080104 
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Datos: Q2732008
Multimedia: Sine integral / Q2732008
