Función bulto

función suave y con soporte compacto

En matemáticas, una función bulto o función de prueba (en inglés, respectivamente "bump function" y "test function") es una función en un espacio euclídeo que es a la vez suave (en el sentido de tener derivadas continuas de todos los órdenes) y compactamente soportada. El conjunto de todas las funciones bulto con dominio forma un espacio vectorial, denotado o El espacio dual de este espacio dotado de una topología adecuada es el espacio de distribuciones.

La gráfica de la función bulto donde y

Ejemplos

editar
 
La función bulto 1d  

La función   dada por

 

es un ejemplo de una función bulto en una dimensión. De su construcción se desprende claramente que esta función tiene soporte compacto, ya que una función de la recta real tiene soporte compacto si y solo si tiene soporte cerrado acotado. La prueba de suavidad sigue la misma línea que para la función relacionada analizada en el artículo sobre funciones suaves no analíticas. Esta función se puede interpretar como la función gaussiana   escalada para ajustarse en el disco unitario: la sustitución   corresponde al envío de   a  

Un ejemplo simple de una función bulto (cuadrada) en   variables se obtiene tomando el producto de   copias de la función bulto anterior en una variable, por lo que

 

Funciones de transición suave

 
La función suave no analítica f(x) considerada en el artículo

Considérese la función

 

definida para cada número real x.

 
La transición suave g de 0 a 1 definida aquí

La función

 

tiene un denominador estrictamente positivo en toda la recta real, por lo que g también es suave. Además, g(x) = 0 para x ≤ 0 y g(x) =  1 para x ≥ 1, por lo que proporciona una transición suave del nivel 0 al nivel 1 en el intervalo unidad [0, 1]. Para tener una transición suave en el intervalo real [a, b] con a < b, considérese la función

 

Para números reales a < b < c < d, la función suave

 

es igual a 1 en el intervalo cerrado [b, c] y desaparece fuera del intervalo abierto (a, d), por lo que puede servir como función bulto.

Se debe tener precaución ya que, por ejemplo, tomar   conduce a:

 

que no es una función infinitamente diferenciable (por lo tanto, no es suave), por lo que las restricciones a < b < c < d deben cumplirse estrictamente.

Algunos datos interesantes sobre la función:

 

Se da el caso de que el valor   produce curvas de transición suaves con bordes de pendiente "casi" constante (que se comportan como líneas rectas inclinadas en un intervalo de medida distinto de cero)

Un ejemplo propio de una función bulto será:

 

Un ejemplo propio de una función de transición suave será:

 

donde se puede observar que se puede representar también mediante la función hiperbólica:

 

Existencia de funciones bulto

editar
 
Una ilustración de la construcción de conjuntos

Es posible construir funciones de respuesta "según especificaciones dadas". Dicho formalmente, si   es un espacio compacto arbitrario en   dimensiones y   es un conjunto abierto que contiene a   existe una función bulto   que es   en   y   fuera de   Dado que   puede considerarse un entorno muy pequeño de   esto equivale a poder construir una función que sea   en   y que caiga rápidamente a   fuera de   sin dejar de ser suave.

Funciones bulto definidas en términos de convolución

La construcción se desarrolla de la siguiente manera. Se considera un entorno compacto   de   contenido en   por lo que   La función característica   de   será igual a   en   y   fuera de   por lo que, en particular, será   en   y   fuera de   Sin embargo, esta función no es suave. La idea clave es suavizar un poco  , tomando la convolución de   con un apaciguador, una función bulto con un soporte muy pequeño y cuya integral es   Tal proceso de suavizado se puede obtener, por ejemplo, tomando la función bulto   de la sección anterior y realizando los escalamientos apropiados.

Funciones bulto definidas en términos de una función   con soporte  

Ahora se detalla una construcción alternativa que no implica convolución. Se comienza construyendo una función suave   que es positiva en un subconjunto abierto dado   y desaparece en  [1]​ El soporte de esta función es igual al cierre   de   en   por lo que si   es compacto, entonces   es una función bulto.

Comiéncese con cualquier función suave   que desaparezca en los reales negativos y sea positiva en los reales positivos (es decir,   en   y   en   donde la continuidad desde la izquierda requiere que  ). Un ejemplo de dicha función es   para   y   en caso contrario.[1]​ Se corrige un subconjunto abierto   de   y se denota el espacio euclídeo habitual por   (de modo que   está dotado de la distancia euclídea habitual). La siguiente construcción define una función suave   que es positiva en   y desaparece fuera de  [1]​ Entonces, en particular, si   es relativamente compacta, entonces esta función   será una función bulto.

Si  , entonces sea  , mientras que si  , entonces sea   Supóngase que   no es ninguno de estos dos conjuntos. Sea   un recubrimiento abierto de   por bolas abiertas, donde la bola abierta   tiene radio   y centro   Entonces, la aplicación   definida por   es una función suave que es positiva en   y desaparece de  [1]

Por cada   sea

 

cuando este supremo no es igual a   (por lo que   es un número real no negativo) porque   todas las derivadas parciales desaparecen (es decir, son iguales a  ) en cualquier   fuera de   mientras que en el conjunto compacto   los valores de cada una de las (finitamente muchas) derivadas parciales están (uniformemente) superiormente acotadas por algún número real no negativo.[nota 1]

La serie

 

converge uniformemente en   a una función suave   que es positiva en   y se anula fuera de  [1]​ Además, para cualquier número entero no negativo  [1]

 

donde esta serie también converge uniformemente en   (porque siempre que   entonces el valor absoluto del término  th es  ). Esto completa la construcción.

Como corolario, dados dos subconjuntos cerrados disjuntos   de   la construcción anterior garantiza la existencia de funciones   suaves y no negativas tales que para cualquier     si y solo si   y de manera similar,   si y solo si   entonces la función

 

es suave y para cualquier     si y solo si     si y solo si   y   si y solo si  [1]

En particular,   si y solo si   entonces si además   es relativamente compacto en   (donde   implica que  ), entonces   será una función bulto suave con soporte en  

Propiedades y usos

editar

Si bien las funciones bulto son suaves, el teorema de identidad prohíbe que sean analíticas a menos que se anulen de manera idéntica. Las funciones bulto se utilizan a menudo como apaciguadores, como funciones de corte suaves y para formar particiones de la unidad suaves. Son la clase más común en la teoría de distribuciones utilizada en el análisis. El espacio de las funciones bulto está cerrado en muchas operaciones. Por ejemplo, la suma, producto o convolución de dos funciones bulto es nuevamente una función bulto, y cualquier operador diferencial con coeficientes suaves, cuando se aplica a una función bulto, producirá otra función bulto.

Si los límites del dominio de la función bulto son   para cumplir el requisito de "suavidad", debe preservar la continuidad de todas sus derivadas, lo que lleva al siguiente requisito en los límites de su dominio:

 

La transformada de Fourier de una función bulto es una función analítica (real) y se puede extender a todo el plano complejo: por lo tanto, no se puede soportar de manera compacta a menos que sea cero, ya que la única función bulto analítica completa es la función cero (véase el teorema de Paley–Wiener) y el teorema de Liouville). Debido a que una función bulto es infinitamente diferenciable, su transformada de Fourier debe decaer más rápido que cualquier potencia finita de   para una frecuencia angular grande  [2]​ La transformada de Fourier de la función bulto particular

 

vista anteriormente, puede ser analizada mediante el método del punto de silla, y decae asintóticamente como

 

para valores grandes de  [3]

Véase también

editar
  1. Las derivadas parciales   son funciones continuas, por lo que la imagen del subconjunto compacto   es un subconjunto compacto de   El supremo está sobre todos los enteros no negativos   donde, debido a que   y   son fijos, este supremo se toma solo sobre un número finito de derivadas parciales, por lo que  

Referencias

editar
  1. a b c d e f g Nestruev, 2020, pp. 13-16.
  2. K. O. Mead y L. M. Delves, "On the convergence rate of generalized Fourier expansions," IMA J. Appl. Math., vol. 12, pp. 247–259 (1973) doi 10.1093/imamat/12.3.247.
  3. Steven G. Johnson, Saddle-point integration of C "bump" functions, arXiv:1508.04376 (2015).

Bibliografía

editar