Factorización de rango

Dada una matriz $A$, de dimensiones $m\times n$ y de rango $r$, una factorización de rango de $A$ es un factorización de la forma $A=CF$, donde $C$ es una matriz $m\times r$ y $F$ es una matriz $r\times n$.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular $B$, la forma escalonada reducida de $A$. Entonces $C$ se obtiene eliminando de $A$ todas las columnas que no son columnas pivote, y $F$ eliminando todas las filas de ceros de $B$.

metal

Demostración

Sea $P$ una matriz $n\times n$ de permutación tal que $AP=(C,D)$ en forma de bloques, donde las columnas de $C$ son las $r$ columnas pivote de $A$. Cada columna de $D$ es una combinación lineal de las columnas de $C$, luego hay una matriz $G$ tal que $D=CG$, donde las columnas de $G$ contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, $AP=(C,CG)=C(I_{r},G)$, siendo $I_{r}$ la matriz identidad $r\times r$. Mostraremos a continuación que $(I_{r},G)=FP$.

Transformar $AP$ en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz $E$ que es un producto de matrices elementales, con lo que $EAP=BP=EC(I_{r},G)$, donde $EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}$. Podemos entonces escribir $BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}$, lo que nos permite identificar $(I_{r},G)=FP$, es decir, las $r$ filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz $A$. Tenemos, por tanto, que $AP=CFP$, y como $P$ es invertible, esto implica que $A=CF$, lo que completa la prueba.

Referencias

• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and its Applications (3rd edición), Addison Wesley, ISBN 978-0201709704 .
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd edición), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0801854149 .
• Stewart, Gilbert W. (1998), Matrix Algorithms. I. Basic Decompositions, SIAM, ISBN 978-0-898714-14-2 .

• Datos: Q7293212