Espacios Lp

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Los espacios son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacios de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

Definición

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El espacio de Banach   se construye a partir del espacio vectorial  , este segundo es un espacio vectorial pero no es un espacio de Banach. Si sobre este segundo espacio se define una cierta relación de equivalencia de tal manera que las clases de equivalencia (formadas por funciones iguales casi en todas partes) sí constituyen un espacio vectorial normado que es un espacio de Banach.

Consideremos   un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

 

para   como el espacio de todas las funciones medibles   que cumplen

 

Asimismo, se define el espacio   como el espacio de las funciones medibles   que verifican:

 

es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural para definir en estos espacios sería:

 , si  , y  

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple  , pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.

Así, se define la siguiente relación de equivalencia   sobre  :

   

Se prueba que efectivamente esta es una relación de equivalencia, y se define

 

i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación  . Considerando entonces sobre   las normas anteriormente definidas (donde   es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que   resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.

Propiedades

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  1.   es un espacio de Banach.
  2.   es un espacio de Hilbert, dotado del producto interno  .
  3. Si  , entonces   se tiene que  .
  4. Si   es reflexivo.
  5. Si denotamos por   al espacio de las funciones simples, se cumple que   es denso en  .
  6. Si  , el dual topológico de   es   donde   es tal que  .
  7. Si el espacio de medida es  -finito, entonces el dual de   se identifica con  .
  8. Si   es un espacio topológico localmente compacto separado, y   es una medida regular, entonces   (el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en   con  .
  9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto   a soporte compacto y que están en   con  , es denso en  , es decir  .

Generalización

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Más en general, los espacios   se pueden definir para funciones que toman valores en un espacio de Banach arbitrario.[1]​ Sea   un espacio de medida y sea   un espacio de Banach. Decimos que   es una función escalón si existen  , con  , y  , tales que

 

Denotaremos por   el conjunto de funciones escalón. Decimos que una función   es Bochner medible si existe una sucesión en   que tiende a   puntualmente.

Sea   el conjunto de clases de equivalencia módulo igualdad para casi todo de funciones   Bochner medibles para las cuales existe un   tal que

 

Para  , denotamos por   el subespacio de   formado por las funciones   tales que  ; denotamos por   el subespacio de   formado por las funciones   tales que  . Estos espacios, equipados con la norma

 
 

son espacios de Banach.


Véase también

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Referencias

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  1. Hytönen, Tuomas; van Neerven, Jan; Veraar, Mark; Weis, Lutz (2016). Analysis in Banach spaces. Volume I. Martingales and Littlewood-Paley theory. Cham: Springer. p. 21. ISBN 978-3-319-48519-5.