Elemento algebraico

En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta y teoría de cuerpos, se dice que un elemento es algebraico sobre un cuerpo si es raíz de algún polinomio con coeficientes en dicho cuerpo. Los elementos algebraicos sobre el cuerpo de los números racionales reciben el nombre de números algebraicos.

Uno de las principales campos de estudio de la teoría de cuerpos es el de decidir si un polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene raíces: es decir, si existe algún elemento tal que al evaluar el polinomio en él, este se anula (). Aun en el caso de que no sea así, siempre es posible encontrar un cuerpo mayor —una extensión de cuerpos— que contenga las soluciones de dicho polinomio. Se dice entonces que esos elementos son algebraicos sobre .

En general, puede ocurrir que una extensión de cuerpos contenga elementos que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes en el cuerpo menor: a estos se les llama elementos trascendentes. Por el contrario, todo elemento de un cuerpo es algebraico sobre dicho cuerpo, ya que es raíz del polinomio .

Definición

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Dado un cuerpo   y una extensión  , se dice que un elemento   es algebraico sobre   si y solo si existe un polinomio  , que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes en  , tal que  . En caso contrario se dice que   es trascendente.

Construcción

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Sean dos cuerpos   y   de forma que   es extensión de  . Sea  . Si  , entonces   es raíz del polinomio  , que es irreducible en   (todo polinomio de grado 1 es irreducible en cualquier anillo de polinomios). Si  , entonces realizamos la siguiente construcción:

  • Construimos el conjunto  . Este conjunto es un cuerpo, es extensión de  , es subcuerpo de  , y de hecho es la menor extensión de   que contiene a  . Se le denomina extensión generada por   sobre  .
  • Construimos la aplicación   que a cada polinomio   le hace corresponder su evaluación en  , i.e.,  . Esta aplicación es de hecho un homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, y se denomina aplicación evaluación.

Ahora solo pueden darse dos situaciones:

  1. ker . En este caso se dice que   es elemento trascendente sobre  .
  2.  . En este caso se dice que   es elemento algebraico sobre  .
Demostración

Como   es dominio de ideales principales y el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal del anillo de partida del homomorfismo, entonces   (esto es, el ideal generado por  ) para algún  .


Por el Primer Teorema de Isomorfía,  , donde   es el monomorfismo inclusión canónica (i.e.,   cualquiera que sea el  ),   es el homomorfismo sobreyectivo aplicación proyección canónica (a cada   le asigna su clase   en el cociente  ), y   es un isomorfismo de anillos unitarios.


Como   es sobreyectiva (ya que es isomorfismo),  , que es subanillo de  , quien a su vez es un cuerpo, luego   es dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también   es dominio íntegro.


Pero si   es dominio íntegro será   un ideal primo de  . Sabemos que   (por hipótesis), luego  . Además, si fuera   (también por hipótesis). Con lo cual tenemos garantizado que   es un polinomio irreducible en   (por ser dominio de ideales principales). Además, como   es dominio de ideales principales, todo ideal primo es maximal, con lo cual   es ideal maximal de  , luego   es un cuerpo. Así   es un subcuerpo de  . Como  , si   será  , con lo que se demuestra que   es subcuerpo de  .


Por otro lado,  , con lo que  . Así,   es un subcuerpo de   que contiene a   y a  . Como   es la menor extensión de   que contiene a   llegamos a la conclusión de que  .


En esta segunda situación ( , o equivalentemente, existe algún   irreducible con  ) se dice que   es algebraico sobre  .

Polinomio mónico irreducible

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Si   es un elemento algebraico sobre el cuerpo   de manera que  , el polinomio   que genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,  ) es irreducible. Dividiendo   por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable  ) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota por   y se denomina polinomio mónico irreducible de   respecto de  .

Claramente,  .

Véase también

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Enlaces externos

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