Ecuación de Kozeny-Carman

La ecuación de Kozeny-Carman o ecuación de Carman-Kozeny o ecuación de Kozeny, es una relación utilizada en el campo de la dinámica de fluidos para calcular la caída de presión de un fluido que fluye a través de un «lecho compacto» de sólidos. La ecuación sólo es válida para flujo laminar. Dice que la variación del volumen de fluido que traspasa ese lecho compacto, respecto al tiempo ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}$ se puede calcular a partir de la diferencia de presión y las propiedades del lecho y del fluido.

Etimología

Se llama así en honor a Josef Kozeny y Philip C. Carman. La ecuación fue derivada por Kozeny (1927)^[1] y modificada por Carman (1937, 1956).^[2]^[3]^[4]

Simbología

Simbología
Símbolo	Nombre	Unidad	Símbolo	Nombre	Unidad
$K_{\rm {CC}}$	Coeficiente Kozeny - Carman			Conductos
$k$	Constante de Darcy	m / s	$A'$	Área transversal	m²
$Sh_{f}$	Factor de forma (Ing. Shape factor)		$D'$	Diámetro	m
$\phi$	Porosidad (fraccional)		$L'$	Longitud	m
$\mu$	Viscosidad dinámica	Pa s	$n'$	Número
$\tau$	Tortuosidad		$S'$	Superficie longitudinal	m²
	Total		$u'$	Velocidad	m / s
$A$	Área transversal	m²	$V'$	Volumen	m³
$L$	Longitud	m	$\Delta p'$	Diferencia de presión	Pa
$q$	Caudal	m³ / s		Partículas
$u$	Velocidad (aparente)	m / s	$d_{p}$	Diámetro	m
$V$	Volumen	m³	$n_{p}$	Número
	Solido		$S_{p}$	Superficie longitudinal	m²
$A_{s}$	Área transversal	m²
$V_{s}$	Volumen	m³

Descripción

La constante $K_{\rm {CC}}$ se determina por medición.^[5]

$K_{\rm {CC}}=\tau \ (Sh_{f})$

Deducción
	Volumen total		Porosidad		General	4	Poiseuille
Ecuaciones	$V=V'+V_{s}$		$\phi ={\frac {V'}{V}}$		$V=AL$	$u'A'=uA$	$\Delta p'={\frac {32\ \mu u'L'}{(D')^{2}}}$
Sustituyendo				$\phi ={\frac {A'\ L'}{A\ L}}$
Despejando		$V_{s}=V-V'$		${\frac {A}{A'}}={\frac {1}{\phi }}{\Bigl (}{\frac {L'}{L}}{\Bigr )}$		$u'={\Bigl (}{\frac {A}{A'}}{\Bigr )}u$
Internamente ${\Bigl (}{\frac {V}{V}}{\Bigr )}$		$V_{s}=V-{\Bigl (}{\frac {V}{V}}{\Bigr )}V'$
Ordenando		$V_{s}=V-{\Bigl (}{\frac {V'}{V}}{\Bigr )}V$
Sustituyendo		$V_{s}=V-\phi \ V$			$u'={\frac {u}{\phi }}{\Bigl (}{\frac {L'}{L}}{\Bigr )}$
Despejando		$V={\frac {V_{s}}{(1-\phi )}}$
Sustituyendo	$V'+V_{s}={\frac {V_{s}}{(1-\phi )}}$				$\Delta p'={\frac {32\ \mu \ L'}{(D')^{2}}}{\Bigl [}{\frac {u}{\phi }}{\Bigl (}{\frac {L'}{L}}{\Bigr )}{\Bigr ]}$
Despejando	$V'={\frac {\phi \ V_{s}}{(1-\phi )}}$				$u={\frac {\phi \ \Delta p'\ (D')^{2}}{32\ \mu \ L'}}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$
	Volumen conductos			Superficie con.			Coeficiente
Ecuaciones	$V'=n{\Bigl [}{\frac {\pi (D')^{2}}{4}}{\Bigr ]}L'$			$S'=n'\pi D'L'$			$K_{\rm {CC}}$
Sustituyendo	$n{\Bigl [}{\frac {\pi (D')^{2}}{4}}{\Bigr ]}L'={\frac {\phi V_{s}}{(1-\phi )}}$
Despejando	$D'={\frac {4\ \phi \ V_{s}}{(1-\phi )(n\pi D'L')}}$
Sustituyendo	$D'={\frac {4\ \phi \ V_{s}}{(1-\phi )\ S}}$
	Volumen partícula			Superficie par.
Ecuaciones	$V_{s}=n_{p}{\Bigl [}{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\Bigr ]}$			$S_{p}=n_{p}(\pi \ d_{p}^{2})$
Sustituyendo	$D'={\frac {4\ \phi \ n_{p}{\Bigl [}{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\Bigr ]}}{(1-\phi )\ n_{p}(\pi \ d_{p}^{2})}}$
Simplificando	$D'={\frac {2\ \phi \ d_{p}}{3\ (1-\phi )}}$
Sustituyendo	$u={\frac {\phi \ \Delta p'}{32\ \mu \ L'}}{\Bigl [}{\frac {2\ \phi \ d_{p}}{3\ (1-\phi )}}{\Bigr ]}^{2}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$
Simplificando	$u={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{\mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$
Agregando	$u={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$
Sustituyendo (Ecua. 4)					$u'={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {A}{A'}}{\Bigr )}$
					Caudal	Darcy
Ecuación					$q=u\ A$	$q=k\ {\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$
Sustituyendo		$q={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}A$
Comparando			$k={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}A$

$u={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}$

$q={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}A$

$k={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}A$

$u'={\frac {\phi ^{3}}{72\ (1-\phi )^{2}}}{\Bigl [}{\frac {(d_{p})^{2}\ \Delta p'}{K_{\rm {CC}}\ \mu \ L'}}{\Bigr ]}{\Bigl (}{\frac {L}{L'}}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {A}{A'}}{\Bigr )}$

Ecuación de Kozeny-Carman

$k={\frac {\phi ^{3}}{(1-\phi )^{2}}}{\Bigl (}{\frac {g}{K_{\rm {CC}}\ \nu \ S_{s}}}{\Bigr )}$

Si se concentran los factores específicos del material a un coeficiente de resistencia hidráulica $R$ juntos, se obtiene

{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}={\Bigl (}{\frac {A}{R}}{\Bigr )}{\frac {\Delta p}{\mu }}

Segunda formulación

Viene dada por la fórmula siguiente:^[4]^[6]

${\frac {\Delta p}{L}}=-{\frac {150\ (1-\phi )^{2}}{\phi ^{3}}}{\Bigl (}{\frac {\mu \ u_{\mathrm {s} }}{{\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }^{2}\ D_{\mathrm {p} }^{2}}}{\Bigr )}$
Símbolo	Nombre	Unidad
${\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }$	Esfericidad de las partículas en el lecho
$D_{\mathrm {p} }$	Diámetro de la partícula esférica equivalente en volumen^[7]	m²

Esta ecuación es válida para el flujo a través de lechos compactos con partículas con número de Reynolds hasta aproximadamente 1,0, tras lo cual el desplazamiento puntual y frecuente de los canales de flujo en el lecho causa considerables pérdidas de energía cinética.

Esta ecuación expresa que el flujo es directamente proporcional a la caída de presión e inversamente proporcional a la viscosidad del fluido, lo que se conoce como ley de Darcy.^[6]

v_{\mathrm {s} }=-{\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\Delta p}{L}}

Combinando estas ecuaciones se obtiene la ecuación final de Kozeny para la permeabilidad absoluta (de una sola fase)

$\kappa =a{\frac {\epsilon ^{3}D_{\mathrm {p} }^{2}}{(1-\epsilon )^{2}}}$
Símbolo	Nombre	Unidad
$\kappa$	Permeabilidad absoluta (es decir, monofásica)	mD
$a$	Factor de proporcionalidad y unidad	mD / mm²
$D_{\mathrm {p} }$	Diámetro promedio de los granos de arena expresado	mm

El factor combinado de proporcionalidad y unidad $a$ normalmente tiene un valor promedio de 0.8E6 /1.0135 al medir muchas muestras de tapones de núcleo que ocurren naturalmente, que van desde un contenido de arcilla alto a bajo, pero puede alcanzar un valor de 3.2E6 /1.0135 para arena limpia.¿De dónde vinieron estos números por arte de magia?^{[cita requerida]} El denominador se incluye explícitamente para recordarnos que la permeabilidad se define usando atm como unidad de presión, mientras que los cálculos de ingeniería de depósitos y las simulaciones de estos generalmente usan el bar como unidad de presión.

Véase también

Referencias

↑ J. Kozeny, "Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden." Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306, 1927.
↑ P.C. Carman, "Fluid flow through granular beds." Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166, 1937.
↑ P.C. Carman, "Flow of gases through porous media." Butterworths, London, 1956.
↑ ^a ^b Fluid Mechanics, Tutorial No. 4: Flow through porous passages .
↑ Walter Müller (2008). Mechanische Grundoperationen und ihre Gesetzmäßigkeiten. Oldenbourg Verlag. ISBN 3486578421.
↑ ^a ^b McCabe, Warren L.; Smith, Julian C.; Harriot, Peter (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (seventh edición), New York: McGraw-Hill, pp. 163-165, ISBN 0-07-284823-5 .
↑ McCabe, Warren L.; Smith, Julian C.; Harriot, Peter (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (seventh edición), New York: McGraw-Hill, pp. 188-189, ISBN 0-07-284823-5 .

Datos: Q1043489

[Kozeny1927-1] J. Kozeny, "Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden." Sitzungsber Akad. Wiss., Wien, 136(2a): 271-306, 1927.

[Carman1937-2] P.C. Carman, "Fluid flow through granular beds." Transactions, Institution of Chemical Engineers, London, 15: 150-166, 1937.

[Carman1956-3] P.C. Carman, "Flow of gases through porous media." Butterworths, London, 1956.

[X-4] Fluid Mechanics, Tutorial No. 4: Flow through porous passages .

[Müller-5] Walter Müller (2008). Mechanische Grundoperationen und ihre Gesetzmäßigkeiten. Oldenbourg Verlag. ISBN 3486578421.

[A-6] McCabe, Warren L.; Smith, Julian C.; Harriot, Peter (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (seventh edición), New York: McGraw-Hill, pp. 163-165, ISBN 0-07-284823-5 .

[B-7] McCabe, Warren L.; Smith, Julian C.; Harriot, Peter (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (seventh edición), New York: McGraw-Hill, pp. 188-189, ISBN 0-07-284823-5 .

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