Dodecadodecaedro truncado

En geometría, el dodecadodecaedro truncado (o dodecadodecaedro truncado estrellado) es un poliedro uniforme estrellado, indexado como U59. Su símbolo de Schläfli es t0,1,2{53,5}. Tiene 54 caras (30 cuadrados, 12 decágonos y 12 decagramss), 180 aristas y 120 vértices.[1]​ La región central del poliedro está conectada al exterior mediante 20 pequeños agujeros triangulares.

Dodecadodecaedro truncado

Modelo 3D
Tipo poliedro estrellado uniforme Edit the value on Wikidata
Forma de las caras cuadrado (30)
decágono regular (12)
decagrama (12) Edit the value on Wikidata
Configuración de vértices triángulo Edit the value on Wikidata
Dual Mediano disdiaquis triacontaedro Edit the value on Wikidata
Elementos
Vértices 120
Aristas 180
Caras 54 Edit the value on Wikidata
Más información
MathWorld TruncatedDodecadodecahedron Edit the value on Wikidata

El nombre de dodecadodecaedro truncado es algo engañoso: el truncamiento del dodecadodecaedro produciría caras rectangulares en lugar de cuadrados, y las caras del pentagrama del dodecadodecaedro se convertirían en pentagramas truncados en lugar de en decagramas. Sin embargo, es el cuasitruncamiento del dodecadodecaedro, tal como lo define Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954).[2]​ Por este motivo, también se le conoce como dodecadodecaedro cuasitruncado.[3]​ Coxeter et al. acreditaron su descubrimiento a un artículo publicado en 1881 por el matemático austriaco Johann Pitsch.[4]

Coordenadas cartesianas

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Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecadodecaedro truncado son todos los tripletes de números obtenidos por desplazamientos circulares y cambios de signo de los siguientes puntos (donde   es el número áureo):

 

Cada uno de estos cinco puntos tiene ocho posibles patrones de signos y tres posibles cambios circulares, dando un total de 120 puntos diferentes.

Como gráfico de Cayley

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El dodecadodecaedro truncado forma un grafo de Cayley para el grupo simétrico de cinco elementos, generado por dos miembros del grupo: uno que intercambia los dos primeros elementos de una tupla de cinco y otro que realiza una operación de cambio circular en los últimos cuatro elementos. Es decir, los 120 vértices del poliedro se pueden colocar en correspondencia uno a uno con las 5! permutaciones que se pueden formar con cinco elementos, de tal manera que los tres vecinos de cada vértice sean las tres permutaciones formadas a partir de él intercambiando los dos primeros elementos o desplazando circularmente (en cualquier dirección) los últimos cuatro elementos.[5]

Poliedros relacionados

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Mediano disdiaquis triacontaedro

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Mediano disdiaquis triacontaedro
 
Imagen del sólido
Tipo Poliedro estrellado
Caras 120  
Aristas 180
Vértices 54
Grupo de simetría Ih, [5,3], *532
Poliedro dual Dodecadodecaedro truncado
 
Modelo 3D del ediano disdiaquis triacontaedro

El mediano disdiaquis triacontaedro es un poliedro no convexo isoedral. Es el dual del dodecadodecaedro truncado, un poliedro uniforme estrellado.

Véase también

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Referencias

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  1. Maeder, Roman. «59: truncated dodecadodecahedron». MathConsult. 
  2. Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), «Uniform polyhedra», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 246: 401-450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003 .. Véase especialmente la descripción como cuasitruncamiento en la p. 411 y la fotografía de un modelo de su esqueleto en la Fig. 114, Lámina IV.
  3. Wenninger escribe "dodecaedro cuasi truncado", pero esto parece ser un error. Wenninger, Magnus J. (1971), «98 Quasitruncated dodecahedron», Polyhedron Models, Cambridge University Press, pp. 152-153 ..
  4. Pitsch, Johann (1881), «Über halbreguläre Sternpolyeder», Zeitschrift für das Realschulwesen 6: 9-24, 72-89, 216 .. According to Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954), the truncated dodecadodecahedron appears as no. XII on p.86.
  5. Eppstein, David (2008), «The topology of bendless three-dimensional orthogonal graph drawing», en Tollis, Ioannis G.; Patrignani, Marizio, eds., Proc. 16th Int. Symp. Graph Drawing, Lecture Notes in Computer Science 5417, Heraklion, Crete: Springer-Verlag, pp. 78-89, arXiv:0709.4087, doi:10.1007/978-3-642-00219-9_9 ..

Enlaces externos

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