En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo
parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por
y
, que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.
Beta |
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![Probability density function for the Beta distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Beta_distribution_pdf.png/325px-Beta_distribution_pdf.png) Función de densidad de probabilidad |
![Cumulative distribution function for the Beta distribution](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/76/Beta_distribution_cdf.png/325px-Beta_distribution_cdf.png) Función de distribución de probabilidad |
Parámetros |
forma (real)
forma (real) |
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Dominio |
![{\displaystyle x\in (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e36003b3f089bcd0315d3f11e3771bfe1cd5bab) |
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Función de densidad (pdf) |
![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125fdaa41844a8703d1a8610ac00fbf3edacc8e7) |
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Función de distribución (cdf) |
![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630767808887e1bd81c51a75934e8a196907bb93) |
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Media |
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b00bed4cbc67ac624f6db39fc3639ae3eb58ed8) |
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Moda |
para ![{\displaystyle \alpha >1,\beta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f1e017514157062ecc289c4042d17d99a1b77f) |
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Varianza |
![{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f3678db794b6d247e588b602bf565763dcb462) |
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Coeficiente de simetría |
![{\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ec71817c032c8eb21b5feadd0ec9b91c747530) |
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Función generadora de momentos (mgf) |
![{\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{n-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdd8390e3edf0ccef42635101ebd44c3323e30d) |
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Función característica |
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05780b82c8372e644a400af4e75ecd83d454f53) |
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La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.
Si una variable aleatoria continua tiene una distribución beta con parámetros entonces escribiremos .
Otras notaciones para la distribución beta usadas son , o .
La función de densidad de es
-
para valores donde es la función beta y se define para como
-
y algunas de las propiedades que satisface son:
-
-
Función de distribución
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La función de distribución de es
-
donde es la función beta incompleta y es la función beta incompleta regularizada.
Si entonces la variable aleatoria satisface algunas propiedades.
La media de la variable aleatoria es
-
La varianza de la variable aleatoria es
- .
La moda de la variable aleatoria es
-
para valores de .
El -ésimo momento de es
-
para .
Función generadora de momentos
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La función generador de momentos de la variable aleatoria está dada por
-
El logaritmo de la media geométrica de una distribución con variable aleatoria es la media aritmética de o equivalentemente, su valor esperado:
-
Para una distribución beta:
-
donde es la función digamma.
Distribuciones relacionadas
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- Si entonces .
- Si entonces , la distribución beta de segundo orden.
- Si entonces .
- Si entonces .
- Si entonces .
- .
- .
- Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.
Animación de la función de densidad de la distribución Beta para diferentes valores de sus parámetros