Dimensión de Assouad

En matemáticas — específicamente, en fractales — la dimensión de Assouad es una definición de dimensión fractal para subconjuntos de un espacio métrico. Fue introducida por Patrice Assouad en su tesis doctoral de 1977 y posteriormente publicado en 1979, aunque ya había sido definida anteriormente por Georges Bouligand en 1928. Además de utilizarse para estudiar fractales, también se ha utilizado para estudiar aplicaciones cuasiconformales y problemas de encaje.

Dimensión de Assouad de un triángulo de Sierpinski. Para R=2 y r=1 $N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=\left({\frac {2}{1}}\right)^{\alpha }$, entonces la dimensión puede ser ${\frac {\log(3)}{\log(2)}}$ como la dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Definición

La dimensión de Assouad de $X,d_{A}(X)$, es el mínimo de todos los $s$, de modo que $(X,\varsigma )$ es $(M,s)$-homogéneo para algunos $M\geq 1$.​

Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $E$ un subconjunto no vacío de $X$. Para $r>0$, sea $N_{r}(E)$ el menor número de bolas métricas de radio menor o igual a r con las que es posible recubrir el conjunto $E$. La dimensión de Assouad de $E$ se define como el $\alpha \geq 0$ ínfimo para el que existen constantes positivas $C$ y $\rho$ de modo que, siempre que

$0<r<R\leq \rho ,$

se mantiene el siguiente límite:

$\sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.$

La intuición subyacente a esta definición es que, para un conjunto E con dimensión entera n "ordinaria", el número de bolas pequeñas de radio r necesarias para cubrir la intersección de una bola más grande de radio R con E se escalará como (R/r)ⁿ.

Lecturas relacionadas

• Assouad, Patrice (1979). «Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans Rⁿ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A-B 288 (15): A731-A734. ISSN 0151-0509.  MR 532401
• Bouligand, M.G. (1928). "Ensembles impropres et nombredimensionnel", Bulletin des Sciences Mathématiques 52 , pp.320–344.

• Datos: Q17002467