En análisis matemático , la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si
z
=
z
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=z(x,y)\,}
d
z
=
∂
z
∂
x
d
x
+
∂
z
∂
y
d
y
∈
Λ
1
(
R
2
)
{\displaystyle dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})}
En cálculo vectorial , la diferencial total de una función
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }
d
f
=
∑
i
=
1
n
∂
f
∂
x
i
d
x
i
{\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}
donde f es una función
f
=
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,}
La derivada total viene de derivar una función
f
{\displaystyle f}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),y=y(t),z=z(t)}
t, y se obtiene que:
d
f
d
t
=
∂
f
∂
x
⋅
x
′
+
∂
f
∂
y
⋅
y
′
+
∂
f
∂
z
⋅
z
′
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'}
donde x ' es la derivada respecto a t de x,
x
′
=
d
x
d
t
{\displaystyle x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}
y ', z '.
Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo
f
(
t
,
x
,
x
′
)
{\displaystyle f(t,x,x')}
x depende del tiempo
x
=
x
(
t
)
,
x
′
=
d
x
d
t
{\displaystyle x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}
d
f
d
t
=
∂
f
∂
t
+
∂
f
∂
x
⋅
x
′
+
∂
f
∂
x
′
⋅
x
″
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''}
Una función sencilla:
y
=
x
2
+
3
x
+
58
{\displaystyle y=x^{2}+3x+58}
d
y
d
x
=
2
x
+
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+3}
d
y
=
(
2
x
+
3
)
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} y=(2x+3)\mathrm {d} x}
Un ejemplo más complejo e ilustrativo:
z
=
f
(
x
,
y
)
=
x
3
+
sin
(
y
)
{\displaystyle z=f(x,y)=x^{3}+\sin(y)}
∂
z
∂
x
=
3
x
2
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3x^{2}}
∂
z
∂
y
=
cos
(
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=\cos(y)}
d
z
=
∂
z
∂
x
d
x
+
∂
z
∂
y
d
y
=
3
x
2
d
x
+
cos
(
y
)
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial z}{\partial y}}\mathrm {d} y=3x^{2}\mathrm {d} x+\cos(y)\mathrm {d} y}
Ecuaciones en diferenciales totales
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Dadas
P
:
A
⊆
R
2
⟶
R
,
Q
:
B
⊆
R
2
⟶
R
{\displaystyle P:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\ Q:B\subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} }
∂
P
∂
y
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial P}{\partial y}}}
∂
Q
∂
x
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}}
continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío .
La ecuación
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle P(x,y)\,\mathrm {d} x+Q(x,y)\,\mathrm {d} y=0}
se llama ecuación en diferenciales totales .[ 1]
Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si
∂
P
∂
y
=
∂
Q
∂
x
.
{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}.}
Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta .
↑ Piskunov, N. (1984). Cálculo diferencial e integral (3.ª edición). Buenos Aires: Suramericana. p. 29. 
Datos: Q15303791