En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:
M
(
x
,
y
)
d
x
+
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,\,\!}
donde las derivadas parciales de las funciones M y N :
∂
M
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}\,\!}
∂
N
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
d
F
(
x
,
y
)
=
∂
F
∂
x
d
x
+
∂
F
∂
y
d
y
{\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy\,\!}
donde
∂
F
∂
x
=
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=M(x,y)\,\!}
∂
F
∂
y
=
N
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=N(x,y)\,\!}
Dado que
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
teorema de Clairaut , sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
∂
M
∂
y
=
∂
N
∂
x
=
∂
2
F
∂
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\,\!}
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y ) y de N (con respecto a x ) son iguales. Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y ) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
F
(
x
,
y
)
=
∫
M
d
x
+
g
(
y
)
=
∫
N
d
y
+
g
(
x
)
{\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+g(y)=\int N\,dy+g(x)\,\!}
Para despejar la función g se deriva
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)\,\!}
g .
∂
F
∂
y
=
∂
∂
y
(
∫
M
d
x
)
+
∂
g
(
y
)
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {y}}}={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}
∂
F
∂
x
=
∂
∂
x
(
∫
N
d
y
)
+
∂
g
(
x
)
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial {F}}{\partial {x}}}={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}
Se iguala la derivada parcial recién calculada de
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable independiente de g ; de este modo se encontrará la función g .
N
=
∂
∂
y
(
∫
M
d
x
)
+
∂
g
(
y
)
∂
y
{\displaystyle N={\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)+{\frac {\partial {g(y)}}{\partial {y}}}\,\!}
g
(
y
)
=
∫
N
d
y
−
∫
[
∂
∂
y
(
∫
M
d
x
)
]
d
y
{\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}
M
=
∂
∂
x
(
∫
N
d
y
)
+
∂
g
(
x
)
∂
x
{\displaystyle M={\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)+{\frac {\partial {g(x)}}{\partial {x}}}\,\!}
g
(
x
)
=
∫
M
d
x
−
∫
[
∂
∂
x
(
∫
N
d
y
)
]
d
x
{\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}
Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)\,\!}
F
(
x
,
y
)
=
∫
M
d
x
+
∫
N
d
y
−
∫
[
∂
∂
y
(
∫
M
d
x
)
]
d
y
=
C
{\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}
F
(
x
,
y
)
=
∫
N
d
y
+
∫
M
d
x
−
∫
[
∂
∂
x
(
∫
N
d
y
)
]
d
x
=
C
{\displaystyle F(x,y)=\int N\,dy+\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial
μ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mu (x,y)\,\!}
factor integrante , tal que:
μ
(
x
,
y
)
M
(
x
,
y
)
d
x
+
μ
(
x
,
y
)
N
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)\,dx+\mu (x,y)N(x,y)\,dy=0\,\!}
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
x .
editar
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
μ
(
x
)
{\displaystyle \mu (x)\,\!}
μ
(
x
)
=
e
∫
M
y
−
N
x
N
d
x
{\displaystyle \mu (x)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\,dx}\,\!}
Cabe decir que para que
μ
(
x
)
{\displaystyle \mu (x)}
M
y
−
N
x
N
{\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}}
M
y
{\displaystyle M_{y}}
N
x
{\displaystyle N_{x}}
∂
M
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}}
∂
N
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}}
Ejemplo:
(
3
x
2
y
+
x
3
y
+
5
y
2
)
d
x
+
(
x
3
+
10
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})dx+(x^{3}+10y)dy=0}
M
y
−
N
x
N
=
1
{\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}=1}
μ
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \mu (x)=e^{x}}
(
3
x
2
y
+
x
3
y
+
5
y
2
)
e
x
d
x
+
(
x
3
+
10
y
)
e
x
d
y
=
0
{\displaystyle (3x^{2}y+x^{3}y+5y^{2})e^{x}dx+(x^{3}+10y)e^{x}dy=0}
La solución general viene dada implícitamente por:
F
(
x
,
y
)
=
(
x
3
y
+
5
y
2
)
e
x
=
c
{\displaystyle F(x,y)=(x^{3}y+5y^{2})e^{x}=c}
y .
editar
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
μ
(
y
)
{\displaystyle \mu (y)\,\!}
μ
(
y
)
=
e
∫
N
x
−
M
y
M
d
y
{\displaystyle \mu (y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}\,dy}\,\!}
Ejemplo:
(
3
x
2
y
+
y
2
)
d
x
+
(
y
2
−
x
3
)
d
y
=
0
{\displaystyle (3x^{2}y+y^{2})dx+(y^{2}-x^{3})dy=0}
N
x
−
M
y
M
=
−
2
y
{\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M}}={\frac {-2}{y}}}
μ
(
y
)
=
1
y
2
{\displaystyle \mu (y)={\frac {1}{y^{2}}}}
(
1
+
3
x
2
y
)
d
x
+
(
1
−
x
3
y
2
)
d
y
=
0
{\displaystyle \left(1+3{\frac {x^{2}}{y}}\right)dx+\left(1-{\frac {x^{3}}{y^{2}}}\right)dy=0}
La solución general viene dada implícitamente por:
F
(
x
,
y
)
=
x
+
y
+
x
3
y
=
c
{\displaystyle F(x,y)=x+y+{\frac {x^{3}}{y}}=c}
x+y .
editar
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
μ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mu (x+y)\,\!}
μ
(
x
+
y
)
=
e
∫
N
x
−
M
y
M
−
N
d
z
{\displaystyle \mu (x+y)=e^{\int {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}\,dz}\,\!}
z
=
x
+
y
{\displaystyle z=x+y}
Ejemplo:
(
3
x
y
−
y
2
)
d
x
+
(
x
2
−
4
y
2
+
x
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle (3xy-y^{2})dx+(x^{2}-4y^{2}+xy)dy=0}
N
x
−
M
y
M
−
N
=
1
x
+
y
{\displaystyle {\frac {N_{x}-M_{y}}{M-N}}={\frac {1}{x+y}}}
μ
(
x
+
y
)
=
x
+
y
{\displaystyle \mu (x+y)=x+y}
[
(
x
+
y
)
(
3
x
y
−
y
2
)
]
d
x
+
[
(
x
+
y
)
(
x
2
−
4
y
2
+
x
y
)
]
d
y
=
0
{\displaystyle [(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0}
La solución general viene dada implícitamente por:
F
(
x
,
y
)
=
(
x
+
y
)
2
(
x
y
−
y
2
)
=
c
{\displaystyle F(x,y)=(x+y)^{2}(xy-y^{2})=c}
x·y .
editar
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
μ
(
x
y
)
{\displaystyle \mu ({x}{y})\,\!}
μ
(
x
y
)
=
e
∫
M
y
−
N
x
N
∗
y
−
M
∗
x
d
z
{\displaystyle \mu (xy)=e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*y-M*x}}\,dz}\,\!}
z
=
x
⋅
y
{\displaystyle z=x\cdot y}
Donde
M
∗
x
=
{\displaystyle M*x=}
Cabe mencionar que:
M
y
=
∂
M
∂
y
,
N
x
=
∂
N
∂
x
{\displaystyle M_{y}={\frac {\partial M}{\partial y}},N_{x}={\frac {\partial N}{\partial x}}\,\!}
Ejemplo:
(
y
+
x
3
y
+
2
x
2
)
d
x
+
(
x
+
4
x
y
4
+
8
y
3
)
d
y
=
0
{\displaystyle (y+x^{3}y+2x^{2})dx+(x+4xy^{4}+8y^{3})dy=0}
M
y
−
N
x
N
.
y
−
M
.
x
=
−
1
x
y
+
2
{\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.y-M.x}}={\frac {-1}{xy+2}}}
μ
(
x
y
)
=
1
x
y
+
2
{\displaystyle \mu (xy)={\frac {1}{xy+2}}}
y
+
x
3
y
+
2
x
2
x
y
+
2
d
x
+
x
+
4
x
y
4
+
8
y
3
x
y
+
2
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {y+x^{3}y+2x^{2}}{xy+2}}dx+{\frac {x+4xy^{4}+8y^{3}}{xy+2}}dy=0}
La solución general viene dada implícitamente por:
F
(
x
,
y
)
=
1
3
x
3
+
y
4
+
ln
(
x
y
+
2
)
=
c
{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{3}}x^{3}+y^{4}+\ln {(xy+2)}=c}
x
2
+
y
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}}
editar
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma
μ
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})}
μ
(
x
y
)
=
e
1
2
∫
M
y
−
N
x
N
∗
x
−
M
∗
y
d
z
{\displaystyle \mu (xy)=e^{{\frac {1}{2}}\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{N*x-M*y}}\,dz}\,\!}
z
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle z=x^{2}+y^{2}}
Ejemplo:
(
x
−
y
)
d
x
+
(
x
+
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle (x-y)dx+(x+y)dy=0}
M
y
−
N
x
N
.
x
−
M
.
y
=
−
2
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{N.x-M.y}}={\frac {-2}{x^{2}+y^{2}}}}
μ
(
x
2
+
y
2
)
=
1
x
2
+
y
2
{\displaystyle \mu (x^{2}+y^{2})={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}}
x
−
y
x
2
+
y
2
d
x
+
x
+
y
x
2
+
y
2
d
y
=
0
{\displaystyle {\frac {x-y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x+y}{x^{2}+y^{2}}}dy=0}
La solución general viene dada implícitamente por:
F
(
x
,
y
)
=
1
2
ln
(
x
2
+
y
2
)
−
arctan
(
x
y
)
=
c
{\displaystyle F(x,y)={\frac {1}{2}}\ln {(x^{2}+y^{2})}-\arctan {\left({\frac {x}{y}}\right)}=c}
Tom M. Apostol (1979): Análisis matemático . ISBN 84-291-5004-8 .
Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado . Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3 .
Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos . Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile. 
![{\displaystyle g(y)=\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83af1b469bed7ab693ac9774959518aa32bf511)
![{\displaystyle g(x)=\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92c7ae5521788a30ef345a36d938947a1e57e8f)
![{\displaystyle F(x,y)=\int M\,dx+\int N\,dy-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {y}}}\left(\int M\,dx\right)\right]\,dy=C\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd878bb98dbd056be53523dd7d5ab8084d3b45e)
![{\displaystyle F(x,y)=\int N\,dy+\int M\,dx-\int \left[{\frac {\partial {}}{\partial {x}}}\left(\int N\,dy\right)\right]\,dx=C\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5f56c2ff505612ccf95c7f8e6c1db8f040e8ea)
![{\displaystyle [(x+y)(3xy-y^{2})]dx+[(x+y)(x^{2}-4y^{2}+xy)]dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e696033956d3ed9eeeb1eb82c75b985961183f)
Datos: Q1366795