Cuasi norma

métrica que no siempre cumple la desigualdad triangular
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En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una cuasi norma (término también escrito en ocasiones como cuasinorma, cuasi-norma o casi norma), es una aplicación que satisface los axiomas de una norma excepto la desigualdad triangular, que se reemplaza por:

para algunos

Definición

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Una cuasi seminorma [1]​ en un espacio vectorial   es una aplicación de valor real   en   que satisface las siguientes condiciones:

  1. No negatividad:  
  2. Homogeneidad absoluta:   para todos los   y todos los escalares  
  3. Existe un   real tal que   para todos los  
    • Si  , entonces esta desigualdad se reduce a la desigualdad triangular. Es en este sentido que esta condición generaliza la desigualdad triangular habitual.

Una cuasi norma [1]​ es una cuasi seminorma que también satisface:

  1. Definida positiva/Separación de puntos
    si   satisface   entonces  

Un par   que consta de un espacio vectorial   y una cuasi seminorma asociada  , se denomina espacio vectorial cuasi seminormado. Si la cuasi-seminorma es una cuasinorma, también se llama espacio vectorial cuasi normado.

Multiplicador

El ínfimo de todos los valores de   que satisfacen la condición (3) se llama multiplicador de   El multiplicador en sí también satisfará la condición (3), por lo que es el único número real más pequeño que satisface esta condición. El término   cuasi seminorma se utiliza a veces para describir una cuasi seminorma cuyo multiplicador es igual a  

Una norma (respectivamente, una seminorma) es precisamente una cuasi norma (respectivamente, una cuasi seminorma) cuyo multiplicador es   Así, cada seminorma es una cuasi seminorma y cada norma es una cuasi norma (y una cuasi seminorma).

Topología

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Si   es una cuasinorma en  , entonces   induce una topología vectorial en   cuya base de entornos en el origen está dada por los conjuntos:[2]

 

ya que   abarca los números enteros positivos. Un espacio vectorial topológico con dicha topología se llama espacio vectorial topológico cuasi normado o simplemente espacio cuasi normado. .

Todo espacio vectorial topológico cuasinormado es pseudometrizable.

Un espacio cuasinormado completo se llama espacio cuasi de Banach. Todo Espacio de Banach es un espacio cuasi-Banach, aunque no a la inversa.

Definiciones relacionadas

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Un espacio cuasinormado   se llama álgebra cuasi normada si el espacio vectorial   es un álgebra y existe una constante   tal que

 

para todo  

Un álgebra cuasi normada completa se llama álgebra cuasi de Banach.

Caracterizaciones

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Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio cuasi normado si y solo si posee un entorno acotada del origen.[2]

Ejemplos

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Dado que toda norma es una cuasi norma, cada espacio vectorial normado es también un espacio cuasi normado.

Espacios   con  

Los espacios   para   son espacios cuasi normados (de hecho, incluso son espacios F) pero no son, en general, normables (lo que significa que podría no existir ninguna norma que defina su topología). Para  , un espacio de Lebesgue   es un EVT metrizable completo (un espacio F), es decir, no es localmente convexo (de hecho, sus únicos subconjuntos abiertos convexos son el propio   y el conjunto vacío) y el único funcional lineal continuo en   es la función constante  .(Rudin, 1991, §1.47) En particular, el teorema de Hahn–Banach no se cumple para   cuando  

Véase también

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Referencias

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  1. a b Kalton, 1986, pp. 297–324.
  2. a b Wilansky, 2013, p. 55.

Bibliografía

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