Condición de la cadena ascendente

La condición de la cadena ascendente (ACC por sus siglas en inglés) y la condición de la cadena descendente (DCC) son propiedades de finitud satisfechas por algunas estructuras algebraicas, principalmente, ideales en ciertos anillos conmutativos.​​​ Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría de la estructura de anillos conmutativos en los trabajos de David Hilbert, Emmy Noether, y Emil Artin. Las condiciones, por sí mismas, pueden ser formuladas de manera abstracta, de modo que sean aplicables a cualquier conjunto parcialmente ordenado. Este punto de vista es útil en la teoría de dimensión algebraica abstracta de Gabriel y Rentschler.

Definición

Un conjunto parcialmente ordenado (o poset) P se dice que satisface la condición de la cadena ascendente (ACC) si ninguna cadena ascendente de elementos puede prolongarse indefinidamente. Equivalentemente, dada cualquier secuencia de elementos de P $a_{1}\,\leq \,a_{2}\,\leq \,a_{3}\,\leq \,\cdots ,$ existe un entero positivo n tal que $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots$. Análogamente, se dice que P satisface la condición de la cadena descendente (DCC) si toda cadena descendente tiene siempre un último elemento. O, equivalentemente, para cada secuencia descendente $\cdots \,\leq \,a_{3}\,\leq \,a_{2}\,\leq \,a_{1}$ existe un entero positivo n tal que $a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots$.

Comentarios

• Una condición sutilmente distinta y más fuerte que "no contiene cadenas ascendentes/descendentes infinitas" es "no contiene cadenas ascendentes/descendentes arbitrariamente largas (opcionalmente, basadas en 'un elemento dado')". Por ejemplo, la unión disjunta de los posets {0}, {0,1}, {0,1,2}, etc., satisface tanto la ACC como la DCC, pero contiene cadenas arbitrariamente largas. Si, consecuentemente, se identifica al 0 en todos estos conjuntos, entonces toda cadena es finita, pero habrá cadenas arbitrariamente largas basadas en 0.
• La condición de la cadena descendente sobre P es equivalente a una relación bien fundada sobre P: todo subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamada condición minimal).
• Análogamente, la condición de la cadena ascendente es equivalente al converso de una relación bien fundada sobre P: todo subconjunto no vacío de P tiene un elemento máximo (también llamada condición maximal).
• Todo poset finito satisface tanto la ACC como la DCC.
• Un conjunto totalmente ordenado que satisface la condición de la cadena descendente se llama conjunto bien ordenado.

Véase también

• Dimensión de Krull

Referencias

• Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. A first course in abstract algebra. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
• Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1

• Datos: Q2528476