Archivo:Julia set with 3 external rays.svg
Tamaño de esta previsualización PNG del archivo SVG: 600 × 600 píxeles. Otras resoluciones: 240 × 240 píxeles · 480 × 480 píxeles · 768 × 768 píxeles · 1024 × 1024 píxeles · 2048 × 2048 píxeles · 1000 × 1000 píxeles.
Ver la imagen en su resolución original ((Imagen SVG, nominalmente 1000 × 1000 pixels, tamaño de archivo: 1,5 MB))
Este es un archivo de Wikimedia Commons, un depósito de contenido libre hospedado por la Fundación Wikimedia. Más abajo se reproduce su página de descripción con la información sobre su origen y licencia. |
Sumario
Resumen
DescripciónJulia set with 3 external rays.svg |
English: Julia set and external rays landing on fixed point . Parametr c is in the center of period 3 hyperbolic component of Mandelbrot set |
Fecha | |
Fuente | Trabajo propio |
Autor | Adam majewski |
Otras versiones |
|
Licencia
Yo, titular de los derechos de autor de esta obra, la publico en los términos de las siguientes licencias:
Este archivo se encuentra bajo la licencia Creative Commons Genérica de Atribución/Compartir-Igual 3.0.
- Eres libre:
- de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo
- de remezclar – de adaptar el trabajo
- Bajo las siguientes condiciones:
- atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo.
- compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original.
Se autoriza la copia, distribución y modificación de este documento bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra que posteriormente publique la Fundación para el Software Libre; sin secciones invariables, textos de portada, ni textos de contraportada. Se incluye una copia de la dicha licencia en la sección titulada Licencia de Documentación Libre GNU.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
Puedes usar la licencia que prefieras.
File usage outside Commons
Compare with
- Program madel by Wolf Jung. See Main Menu, Help, Demo3, page 5[1]
-
external and internal rays
-
c=-0,123+0.745i
-
C=-0.12256+0.74486i; LCM/J
-
C-0.12+0.665*i; CPM/J
-
c=-0.11+0.65569999*i ; MIIM
-
c=-0.11+0.65569999*i; mIIM/J
-
c = −0,123 + 0.745i; Quaternion julia set. The "Douady Rabbit" julia set is visible in the cross section
-
Douady rabbit in an exponential family
What program does ?
Program draws to png file :
- repelling fixed point and other fixed point
- superattracting 3-point cycle (limit cycle) : ( period is 3 )
- Julia set ( backward orbit of repelling fixed point ) using modified inverse iteration method (MIIM/J)
- 3 external rays of period 3 cycle : , which land on fixed point
Algorithms
- drawing Julia set
- drawing external ray is based on c program by Curtis McMullen[2] and its Pascal version by Matjaz Erat[3]
Software needed
- Maxima CAS
- gnuplot for drawing ( creates png file )
Tested on versions :
- wxMaxima 0.7.6
- Maxima 5.16.3
- Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)
- Gnuplot Version 4.2 patchlevel 3
Source code
It is a batch file for Maxima CAS.
/*
batch file for Maxima CAS
*/
start:elapsed_run_time ();
kill(all);
remvalue(all);
/* --------------------------definitions of functions ------------------------------*/
f(z,c):=z*z+c; /* Complex quadratic map */
finverseplus(z,c):=sqrt(z-c);
finverseminus(z,c):=-sqrt(z-c);
/* */
fn(p, z, c) :=
if p=0 then z
elseif p=1 then f(z,c)
else f(fn(p-1, z, c),c);
/*Standard polynomial F_p \, which roots are periodic z-points of period p and its divisors */
F(p, z, c) := fn(p, z, c) - z ;
/* Function for computing reduced polynomial G_p\, which roots are periodic z-points of period p without its divisors*/
G[p,z,c]:=
block(
[f:divisors(p),
t:1], /* t is temporary variable = product of Gn for (divisors of p) other than p */
f:delete(p,f), /* delete p from list of divisors */
if p=1
then return(F(p,z,c)),
for i in f do
t:t*G[i,z,c],
g: F(p,z,c)/t,
return(ratsimp(g))
)$
GiveRoots(g):=
block(
[cc:bfallroots(expand(%i*g)=0)],
cc:map(rhs,cc),/* remove string "c=" */
cc:map('float,cc),
return(cc)
)$
/*
circle D={w:abs(w)=1 } where w=l(t,r)
t is angle in turns ; 1 turn = 360 degree = 2*Pi radians
r is a radius
*/
GiveC(angle,radius):=
(
[w], /* point of unit circle w:l(internalAngle,internalRadius); */
w:radius*%e^(%i*angle*2*%pi), /* point of circle */
float(rectform(w/2-w*w/4)) /* point in a period 1 component of Mandelbrot set */
)$
/* endcons the complex point to list in the format for draw package */
endconsD(point,list):=endcons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
consD(point,list):=cons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
GiveForwardOrbit(z0,c,iMax):=
/*
computes (without escape test)
forward orbit of point z0
and saves it to the list for draw package */
block(
[z,orbit,temp],
z:z0, /* first point = critical point z:0+0*%i */
orbit:[[realpart(z),imagpart(z)]],
for i:1 thru iMax step 1 do
( z:expand(f(z,c)),
orbit:endcons([realpart(z),imagpart(z)],orbit)),
return(orbit)
)$
/* gives 3 sublists from forward orbit of internal point */
GiveInternalRays(z0,c,iMax):= block
([a,b,d,z],
a:[],
b:[],
d:[],
z:z0,
for i:1 thru iMax step 1 do
(
a:consD(z,a),
z:f(z,c),
b:consD(z,b),
z:f(z,c),
d:consD(z,d),
z:f(z,c)
),
return([a,b,d])
)$
/* Gives points of backward orbit of z=repellor */
GiveBackwardOrbit(c,repellor,zxMin,zxMax,zyMin,zyMax,iXmax,iYmax):=
block(
hit_limit:4, /* proportional to number of details and time of drawing */
PixelWidth:(zxMax-zxMin)/iXmax,
PixelHeight:(zyMax-zyMin)/iYmax,
/* 2D array of hits pixels . Hit > 0 means that point was in orbit */
array(Hits,fixnum,iXmax,iYmax), /* no hits for beginning */
/* choose repeller z=repellor as a starting point */
stack:[repellor], /*save repellor in stack */
/* save first point to list of pixels */
x_y:[repellor],
/* reversed iteration of repellor */
loop,
/* pop = take one point from the stack */
z:last(stack),
stack:delete(z,stack),
/*inverse iteration - first preimage (root) */
z:finverseplus(z,c),
/* translate from world to screen coordinate */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
/*inverse iteration - second preimage (root) */
z:-z,
/* translate from world to screen coordinate, coversion to integer */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack to continue iteration */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
if is(not emptyp(stack)) then go(loop),
return(x_y) /* list of pixels in the form [z1,z2] */
)$
/*-----------------------------------*/
Psi_n(r,t,z_last, Max_R):=
/* */
block(
[iMax:200,
iMax2:0],
/* ----- forward iteration of 2 points : z_last and w --------------*/
array(forward,iMax-1), /* forward orbit of z_last for comparison */
forward[0]:z_last,
i:0,
while cabs(forward[i])<Max_R and i< ( iMax-2) do
(
/* forward iteration of z in fc plane & save it to forward array */
forward[i+1]:forward[i]*forward[i] + c, /* z*z+c */
/* forward iteration of w in f0 plane : w(n+1):=wn^2 */
r:r*2, /* square radius = R^2=2^(2*r) because R=2^r */
t:mod(2*t,1),
/* */
iMax2:iMax2+1,
i:i+1
),
/* compute last w point ; it is equal to z-point */
R:2^r,
/* w:R*exp(2*%pi*%i*t), z:w, */
array(backward,iMax-1),
backward[iMax2]:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))), /* use last w as a starting point for backward iteration to new z */
/* ----- backward iteration point z=w in fc plane --------------*/
for i:iMax2 step -1 thru 1 do
(
temp:float(rectform(sqrt(backward[i]-c))), /* sqrt(z-c) */
scalar_product:realpart(temp)*realpart(forward[i-1])+imagpart(temp)*imagpart(forward[i-1]),
if (0>scalar_product) then temp:-temp, /* choose preimage */
backward[i-1]:temp
),
return(backward[0])
)$
GiveRay(t,c):=
block(
[r],
/* range for drawing R=2^r ; as r tends to 0 R tends to 1 */
rMin:1E-10, /* 1E-4; rMin > 0 ; if rMin=0 then program has infinity loop !!!!! */
rMax:2,
caution:0.9330329915368074, /* r:r*caution ; it gives smaller r */
/* upper limit for iteration */
R_max:300,
/* */
zz:[], /* array for z points of ray in fc plane */
/* some w-points of external ray in f0 plane */
r:rMax,
while 2^r<R_max do r:2*r, /* find point w on ray near infinity (R>=R_max) in f0 plane */
R:2^r,
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
z:w, /* near infinity z=w */
zz:cons(z,zz),
unless r<rMin do
( /* new smaller R */
r:r*caution,
R:2^r,
/* */
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
/* */
last_z:z,
z:Psi_n(r,t,last_z,R_max), /* z=Psi_n(w) */
zz:cons(z,zz)
),
return(zz)
)$
/*
find symmetric point z3
z3 is the same line as z1 and z2 such z2 is between z1 and z3
*/
GiveNextPoint(z1,z2):=(
[x,y,dx,dy],
dx:realpart(z1)-realpart(z2),
dy:imagpart(z1)-imagpart(z2),
x:realpart(z2)-dx,
y:imagpart(z2)-dy,
x+y*%i
)$
compile(all)$
/* ----------------------- main ----------------------------------------------------*/
period:3$
/* external angle in turns */
/* resolution is proportional to number of details and time of drawing */
iX_max:1000;
iY_max:1000;
/* define z-plane ( dynamical ) */
ZxMin:-2.0;
ZxMax:2.0;
ZyMin:-2.0;
ZyMax:2.0;
/* limit cycle */
k:G[period,z,c]$ /* here c and z are symbols */
/* c:-0.12256+0.74486*%i; value by Milnor*/
c:0.74486176661974*%i-0.12256116687665; /* center of period 3 component */
/* find periodic z points */
s:GiveRoots(ev(k))$ /* ev moves value to c symbol here */
z0:s[1];
z1:rectform(float(f(z0,c)));
z2:rectform(float(f(z1,c)));
/* create 2 sublists : s1 and s2 from one list s */
s1:[z0,z1,z2]$
s2:delete(s[1],s);
for z in s2 do if abs(z-z1)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
for z in s2 do if abs(z-z2)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
/* compute fixed points */
beta:float(rectform((1+sqrt(1-4*c))/2)); /* compute repelling fixed point beta */
alfa:float(rectform((1-sqrt(1-4*c))/2)); /* other fixed point */
/* compute backward orbit of repelling fixed point */
xy: GiveBackwardOrbit(c,beta,ZxMin,ZxMax,ZyMin,ZyMax,iX_max,iY_max)$ /**/
/* compute ray points & save to zz list */
eRay1o7:GiveRay(1/7,c)$
eRay2o7:GiveRay(2/7,c)$
eRay4o7:GiveRay(4/7,c)$
/* time of computations */
time:fix(elapsed_run_time ()-start)$
/* draw it using draw package by */
load(draw);
path:"~/maxima/batch/julia/rabbit/"$ /* if empty then file is in a home dir */
/* if graphic file is empty (= 0 bytes) then run draw2d command again */
draw2d(
terminal = 'svg,
file_name = sconcat(path,"Julia_1_3g"),
user_preamble="set size square;set key bottom right",
title= concat("Dynamical plane for fc(z)=z*z+",string(c)),
dimensions = [iX_max, iY_max],
yrange = [ZyMin,ZyMax],
xrange = [ZxMin,ZyMax],
xlabel = "Z.re ",
ylabel = "Z.im",
point_type = filled_circle,
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
points_joined =false,
color = black,
key = "backward orbit of z=beta",
points(map(realpart,xy),map(imagpart,xy)),
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
key = "external ray 1/7",
points(map(realpart,eRay1o7),map(imagpart,eRay1o7)),
key = "external ray 2/7",
points(map(realpart,eRay2o7),map(imagpart,eRay2o7)),
key = "external ray 4/7",
points(map(realpart,eRay4o7),map(imagpart,eRay4o7)),
points_joined =false,
color = blue,
point_size = 1.4,
key = "repelling fixed point z= beta",
points([[realpart(beta),imagpart(beta)]]),
color = yellow,
key = "fixed point alfa and repelling period 3 cycle",
points([[realpart(alfa),imagpart(alfa)]]),
color = green,
key = sconcat("attracting period ",string(period)," cycle"),
points(map(realpart,s1),map(imagpart,s1))
);
Acknowledgements
This program is not only my work but was done with help of many great people (see references). Warm thanks (:-))
References
- ↑ | Program madel by Wolf Jung
- ↑ c program by Curtis McMullen (quad.c in Julia.tar.gz) archive copy at the Wayback Machine
- ↑ Quadratische Polynome by Matjaz Erat
Yo, titular de los derechos de autor de esta obra, la publico en los términos de las siguientes licencias:
Este archivo se encuentra bajo la licencia Creative Commons Genérica de Atribución/Compartir-Igual 3.0.
- Eres libre:
- de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo
- de remezclar – de adaptar el trabajo
- Bajo las siguientes condiciones:
- atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo.
- compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original.
Se autoriza la copia, distribución y modificación de este documento bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra que posteriormente publique la Fundación para el Software Libre; sin secciones invariables, textos de portada, ni textos de contraportada. Se incluye una copia de la dicha licencia en la sección titulada Licencia de Documentación Libre GNU.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
Puedes usar la licencia que prefieras.
Elementos representados en este archivo
representa a
Algún valor sin elemento de Wikidata
28 jun 2015
Historial del archivo
Haz clic sobre una fecha y hora para ver el archivo tal como apareció en ese momento.
Fecha y hora | Miniatura | Dimensiones | Usuario | Comentario | |
---|---|---|---|---|---|
actual | 18:47 2 mar 2020 | 1000 × 1000 (1,5 MB) | Soul windsurfer | removed repelling period 3 cycle, which is not at fixed point | |
21:06 1 mar 2020 | 1000 × 1000 (1,5 MB) | Soul windsurfer | better description | ||
20:54 1 mar 2020 | 1000 × 1000 (1,5 MB) | Soul windsurfer | changed logo | ||
06:52 28 jun 2015 | 1000 × 1000 (1,54 MB) | Soul windsurfer | descr | ||
06:44 28 jun 2015 | 1000 × 1000 (1,54 MB) | Soul windsurfer | {{Information |Description ={{en|1=Julia set and external rays landing on fixed point <math>\alpha_c\,</math>. Parametr c is in the center of period 3 hyperboli... |
Usos del archivo
La siguiente página usa este archivo:
Uso global del archivo
Las wikis siguientes utilizan este archivo:
- Uso en ar.wikipedia.org
- Uso en el.wikipedia.org
- Uso en en.wikipedia.org
- Uso en en.wikibooks.org
Metadatos
Este archivo contiene información adicional, probablemente añadida por la cámara digital o el escáner usado para crearlo o digitalizarlo.
Si el archivo ha sido modificado desde su estado original, pueden haberse perdido algunos detalles.
Título breve | Gnuplot |
---|---|
Título de la imagen | Produced by GNUPLOT 5.3 patchlevel 0 |
Anchura | 1000 |
Altura | 1000 |