Conejo de Douady

fractal relacionado con el conjunto de Julia

Se denomina conejo de Douady[1]​ a un tipo particular de fractales que son conjuntos de Julia llenos, asociados con un parámetro cercano a los valores del periodo central 3 de brotes de un conjunto de Mandelbrot generado por una función cuadrática compleja.

Conejo de Douady, representado con colores que indican el número de iteraciones

Nombre

editar

El conejo de Douady recibe su nombre del matemático francés Adrien Douady.[2]

El conejo gordo o conejo regordete tiene c en la raíz del 1/3-limbo del conjunto de Mandelbrot. Posee un punto fijo parabólico con 3 pétalos.[3]

Formas del mapa cuadrático complejo

editar

Hay dos formas comunes de la función cuadrática compleja  . La primera, también llamada complejo logístico, se escribe como

 

donde   es una variable compleja y   es un parámetro complejo. La segunda forma común es

 

Aquí   es una variable compleja y   es un parámetro complejo. Las variables   y   están relacionadas por la ecuación

 

y los parámetros   y   están relacionados por las ecuaciones

 

Debe tenerse en cuenta que   es invariante bajo la sustitución  .

Imágenes

editar

Conjuntos de Mandelbrot y de Julia llenos

editar

Hay dos planos asociados con  . Uno de estos, el plano   (o  ), se denomina "plano resultante", ya que   envía este plano sobre sí mismo. El otro, el plano   (o  ), se denominará "plano de control".

La naturaleza de lo que sucede en el plano resultante bajo la aplicación repetida de   depende de dónde esté   (o  ) en el plano de control. El conjunto de Julia lleno consta de todos los puntos en el plano resultante cuyas imágenes permanecen delimitadas bajo aplicaciones de   repetidas indefinidamente. El conjunto de Mandelbrot consiste en aquellos puntos en el plano de control de manera que el conjunto de Julia relleno asociado en el plano resultante sea conexo.

La Figura 1 muestra el conjunto de Mandelbrot cuando   es el parámetro de control, y la Figura 2 muestra el conjunto de Mandelbrot cuando   es el parámetro de control. Dado que   y   son afines entre sí (una transformación lineal más una traslación), los conjuntos de Julia llenos presentan formas muy parecidas en los planos   o  .

Figura 1: El conjunto de Mandelbrot representado en el plano  
Figura 2: El conjunto de Mandelbrot representado en el plano  

Generación

editar
 
Conejo de Douady en una familia exponencial
 
Laminación del conejo de Julia
 
Representación de los cuaterniones de Julia con parámetros c = −0,123 + 0.745i y con sección en el plano XY. El "conejo de Douady" del conjunto de Julia es visible en la sección transversal
 
Representación de la dinámica dentro del conejo

El conejo de Douady se describe más fácilmente en términos del conjunto de Mandelbrot como se muestra en la Figura 1 (arriba). En esta figura, el conjunto de Mandelbrot, al menos cuando se ve desde la distancia, aparece como dos discos unidad con brotes y espalda con espalda. Considérense los brotes en las posiciones horarias (las de la esfera de un reloj de agujas) de la una y las cinco en el disco derecho o los brotes en las posiciones de las siete y las once en el disco izquierdo. Cuando   está dentro de uno de estos cuatro brotes, el conjunto de Julia relleno asociado en el plano de aplicación es un conejo de Douady. Para estos valores de  , se puede demostrar que   tiene   y otro punto como puntos fijos inestables (repelentes) y   como un punto fijo atrayente (atractor). Además, el mapa   tiene tres puntos fijos de atracción. El conejo de Douady consta de los tres puntos fijos de atracción  ,   y   y sus cuencas de atracción.

Por ejemplo, la Figura 3 muestra el conejo de Douady en el plano   cuando  , un punto en el brote de las cinco en punto del disco derecho.

Para este valor de  , la aplicación   tiene los puntos fijos repelentes   y  . Los tres puntos fijos de atracción de   (también llamados puntos fijos de período tres) tienen las ubicaciones

 
 
 

Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en las cuencas  ,   y   de  , respectivamente. Los puntos blancos se encuentran en la cuenca   de  .

La acción de   sobre estos puntos fijos está dada por las relaciones

 
 
 

Correspondiendo a estas relaciones están los resultados

 
 
 

Nótese la maravillosa estructura fractal en los límites de la cuenca.

 
Figura 3: Conejo de Douady para   o  

Como segundo ejemplo, la Figura 4 muestra un conejo de Douady cuando  , un punto en el brote de las once en el disco izquierdo (como se señaló anteriormente,   es invariante bajo esta transformación). El conejo ahora se dispone más simétricamente en la página. Los tres puntos fijos del período se encuentran en

 
 
 

Los puntos fijos repelentes de   en sí están ubicados en   y  . Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen el período, tres puntos fijos  ,   y  , se encuentran en el punto fijo  , y sus recíprocos de la derecha se encuentran en el punto  . Se puede demostrar que el efecto de   en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario sobre el origen de  , o muy cerca de  , seguida de escalado (dilatación) por un factor de  .

 
Figura 4: Conejo de Douady por   o  

Véase también

editar

Referencias

editar
  1. Richard H. Enns (2010). It's a Nonlinear World. Springer Science & Business Media. pp. 86 de 384. ISBN 9780387753386. Consultado el 5 de enero de 2022. 
  2. "Julia Sets and the Mandelbrot Set Archivado el 7 de agosto de 2016 en Wayback Machine.", Math.Bard.edu.
  3. «Note on dynamically stable perturbations of parabolics by Tomoki Kawahira». Archivado desde el original el 2 de octubre de 2006. Consultado el 5 de enero de 2022. 
  4. Recent Research Papers (Only since 1999) Robert L. Devaney: Rabbits, Basilicas, and Other Julia Sets Wrapped in Sierpinski Carpets

Enlaces externos

editar