Anexo:Derivadas

La operación fundamental en el cálculo diferencial es encontrar una derivada. Esta tabla enlista las derivadas de varias funciones. En lo sucesivo, f y g son funciones de x y c es una constante con respecto a x. Se presupone al conjunto de los números reales. Estas fórmulas son suficientes para diferenciar cualquier función elemental.

Reglas generales de diferenciación

Linealidad

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

$\left({f-g}\right)'=f'-g'$

$\left({cf}\right)'=cf'$

Regla del producto

$\left({fg}\right)'=f'.g+f.g'$

Regla del cociente

$\left({f \over g}\right)'={f'.g-f.g' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

Caso particular

$\left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0$

Regla de la cadena

$(f\circ g)'=f'(g)g'$

Derivadas de funciones simples

${d \over dx}k=0$

${d \over dx}x=1$

${d \over dx}(cx)=c$

${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}\qquad {\mbox{donde }}x^{c}{\mbox{ y }}cx^{c-1}{\mbox{ se encuentran definidos}}$

${d \over dx}(cx^{n})=cnx^{n-1}$

${d \over dx}|x|={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

${d \over dx}\left({1 \over x}\right)={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

${d \over dx}\left({1 \over x^{c}}\right)={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-cx^{-c-1}=-{c \over x^{c+1}}$

${d \over dx}({\sqrt[{n}]{x}})={1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}\,{\mbox{sea }}x>0$

${d \over dx}{\sqrt {x}}={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

${d \over dx}f(x)^{n}\ =nf(x)^{n-1}\cdot {d \over dx}f(x)$

Derivada de la función inversa

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$,

para alguna función diferenciable f de un argumento real y con valores reales, cuando las composiciones indicadas e inversas existen.

Derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

${d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0$

${d \over dx}e^{x}=e^{x}{d \over dx}(x)$

${d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c}\qquad ,c>0,c\neq 1$

${d \over dx}\ln x={1 \over x}\qquad ,x>0$

${d \over dx}\ln |x|={1 \over x}$

${d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)$

$(f^{g})'=f^{g}\left(g'\ln f+{\frac {g}{f}}f'\right)$

Derivada de la función potencial exponencial

${d \over dx}f(x)^{g(x)}=f(x)^{g(x)}\left({d \over dx}f(x)\cdot {g(x) \over f(x)}+{d \over dx}g(x)\cdot \ln f(x)\right),\qquad f(x)>0$

Derivadas de funciones trigonométricas

${d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x$ ${d \over dx}\sec x=\sec x\tan x$ ${d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x$ ${d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \operatorname {sen} ^{2}\,x}$ ${d \over dx}\,\operatorname {arcsen} \,x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}$ ${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}$ ${d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over x{\sqrt {x^{2}-1}}}$ ${d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}$

Derivadas trigonométricas cíclicas (Criterios de la primera, segunda y tercera derivadas)

${d \over dx}\,\operatorname {sen} \,x=\cos x$​ ${d \over dx}\cos x=-\operatorname {sen} \,x$​

${d \over dx}\,-\operatorname {sen} \,x=-\cos x$ ${d \over dx}\,-\operatorname {cos} \,x=\operatorname {sen} x$

Derivadas de funciones hiperbólicas

${d \over dx}\,\operatorname {senh} \,x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ ${d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ ${d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x$ ${d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$ ${d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$ ${d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$

${d \over dx}\,\operatorname {argsenh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$ ${d \over dx}\,\operatorname {argcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$ ${d \over dx}\,\operatorname {argtanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}$ ${d \over dx}\,\operatorname {argsech} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${d \over dx}\,\operatorname {argcsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$ ${d \over dx}\,\operatorname {argcoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}$

Derivadas de funciones especiales

Función zeta de Riemann

$(\zeta (x))'=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!$

$(\zeta (x))'=-\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q\ {\text{primo}},\ q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!$

Derivadas de distribuciones

$H'(x-a)=\delta (x-a)\,$ (Función unitaria de Heaviside y Delta de Dirac)

${\mbox{ramp}}'(x)=H(x)\,$ (Función rampa y función unitaria de Heaviside)

$|x|'={\mbox{sgn}}(x)\,$ (Valor absoluto y función signo)

Funciones elípticas

Las derivadas de la funciones elípticas de Jacobi son:

${\begin{cases}{\cfrac {d}{dx}}{\text{sn}}\ x={\text{cn}}\ x\ {\text{dn}}\ x\\{\cfrac {d}{dx}}{\text{dn}}\ x=-k^{2}{\text{sn}}\ x\ {\text{cn}}\ x\\{\cfrac {d}{dx}}{\text{cn}}\ x=-{\text{sn}}\ x\ {\text{dn}}\ x\\{\cfrac {d}{dx}}{\text{sc}}\ x={\text{dc}}\ x\ {\text{nc}}\ x\end{cases}}$

Derivadas de funciones definidas como integral

La fórmula de Leibniz para diferenciación de integrales establece que:​

${\frac {d}{dx}}\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}f(x,s)\ ds=\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}{\frac {\partial f(x,s)}{\partial x}}\ ds+f(x,g_{2}(x)){\frac {dg_{2}}{dx}}-f(x,g_{1}(x)){\frac {dg_{1}}{dx}}$

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.